72. Уравнение кривой второго порядка в полярной системе координат

Пусть кривая второго порядка задана фокусом F и соответствующей директрисой d. Выведем уравнение кривой второго в полярной системе координат определенно следующим образом. В качестве полюса полярной системы координат возьмем фокус F, а полярную ось направим перпендикулярно и сторону противоположную директрисе (см. рис. 29).

Через фокус проведем прямой параллельной директрисе, который пересекает кривую в двух точках K K¢ . Длину отрезка FK назовем Фокальным параметром кривой второго порядка, и обозначим через P.

K¢

Y

По теореме 1 § 8 точка M принадлежит кривой второго порядка тогда и только тогда когда

M2

, e - эксцентриситет кривой, M1 - проекция точки M На директрису. Отсюда получаем

. (1)

Аналогичное равенство имеет место и для точки . Отсюда находим .

Пусть точка M Имеет полярные координаты M(R, J). Тогда из (1) получим

, (2)

Где точка A пересечения прямых FK и MM1. Далее |AM1| = |KK1| = P/e, и |MM1| = R×cos J. Тогда из (2) получим уравнение кривой второго порядка

. (3)

Можно показать, что если полярные координаты точки M(R, J) удовлетворяют уравнению (3), то выполняется равенство (1), и точка M принадлежит кривой второго порядка. Нетрудно доказать (докажите!), что 1- e×cos J ≠ 0. Тогда уравнение (3) можно преобразуем к виду:

. (4)

Для эллипса 0 < e < 1. Если j принимает все значения из промежутка [0, 2p), то получим все точки эллипса.

Для параболы e = 1. Если j принимает все значения из промежутка (0, 2p), то получим все точки все точки параболы.

Для гиперболы e > 1. Если j принимает все значения из промежутка (-a, a), где a - угол наклона асимптоты, то получаем все точки только одной ветви гиперболы.

< Предыдущая		Следующая >