70. 5. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению

Определение 1. Параболой Называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой D, которая не проходит через точку F.

Точка F называются Фокусами, расстояние от фокуса параболы до директрисы называется Фокальным параметром параболы и обозначается через P.

Выведем уравнение параболы в прямоугольной системе координат OXy, связанной с гиперболjq. Для этого начало O системы координат поместим в середину перпендикуляра, опущенного из точки F На директрису. Ось OX направим по прямой KF. Ось OY - прямую проходящую через О параллельно директрисе. Такая система координат называется Канонической. В выбранной системе координат фокус имеет координаты F(P/2, 0), директриса уравнение x = - P/2.

Пусть M(X,Y) произвольная точка плоскости OXy, M1 проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- P/2, y). По

Определению 1 точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда

|MF| = |MM1|. (1)

Находим

|MF| =, |MM1| =.

Отсюда получим уравнение параболы

=.

Для того, чтобы упростить это уравнение, и возведем обе его части в квадрат

Или

. (2)

Мы доказали, что если точка лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Докажем обратное, что если координаты точки M(X,Y) удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит параболе. Для этого вычисляем расстояния |MF|.

|MF| = =.

Таким образом, доказали, что уравнение (2) является уравнением параболы.

Уравнение (2) называется Каноническим уравнением параболы. Отрезок |MF| называются Фокальными радиусами точки M.

Исследуем параболу по каноническому уравнению.

1. Парабола проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) удовлетворяют уравнению (2) и парабола пересекает оси только в начале координат и эта точка называется вершиной гиперболы.

2. Так как переменная Y входит в уравнение (2) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) параболе принадлежат две точки (X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, парабола симметрична относительно координатной оси OX.

3. Из уравнения параболы находим X ³ 0, и она находится в полосе 0 £X <+¥ (см. рис. 24).

4. Исследуем поведение параболы в первой четверти. Для этого выразим Y из уравнения (2) через X:

.

Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке 0 £X <+¥ Парабола является графиком возрастающей функции.

4. Исследуем пересечения гиперболы с прямыми, проходящими через начало координат. Вертикальная и горизонтальная прямые, оси OХ, OY пересекает параболу только в начале координат. Рассмотрим любую другую прямую, которую можно задать уравнением Y = Kx, K ≠ 0. Подставляя в уравнение (1) находим, что прямая пересекает параболу в двух точках .

Замечание 1. С помощью циркуля и линейки можно построить сколь угодно много точек на параболе. Проведем прямую параллельную директрисе на расстоянии R, и с центром в фокусе F, радиусом R. Точки пересечения прямой и окружностей лежат на параболе (см. рис. 26).

< Предыдущая		Следующая >