68. Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению. Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

В § 3 доказано, что в канонической системе координат OXy Уравнение гиперболы имеет вид:

. (1)

1. Гипербола не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (1).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью ОХ полагаем в уравнении (1) У = 0 и находим X = ±A. Таким образом гипербола пересекает ось ОХ В точках A1(-A, 0), A2(A, 0). Так как уравнение (3) не имеет решений при У = 0, то гипербола не пересекает ось ОY.

Точки A1, A2 называются Действительными вершинами гиперболы, Отрезок A1A2, B1B2 Действительной осью гиперболы; |A1A2| =2A; A называются действительной полуосью гиперболы. Точки B1(0,-B), B2(0, B) называются Мнимыми вершинами гиперболы, Отрезок B1B2 Мнимой осью гиперболы; |B1B2| =2B; B называются мнимой полуосью гиперболы.

3. Так как все переменные входят в уравнение (1) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) гиперболе принадлежат четыре точки (±X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гипербола симметрична относительно, всех координатных осей OX, OY и начала координат. Точка О называется Центром Гиперболы.

4. Из уравнения гиперболы находим, . Отсюда следует, что гипербола не ограниченная линия, которая находится в объединении полос: -¥ < X £ A, A £X <+¥ (см. рис. 21).

5. Исследуем поведение гиперболы в первой четверти. Для этого выразим Y из уравнения (1) через X:

.

Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке A £X <+¥ Гипербола является графиком возрастающей функции.

6. Исследуем пересечения гиперболы с прямыми, проходящими через начало координат. Вертикальная прямая, ось OY, не пересекает гиперболу. Рассмотрим любую другую прямую, которую можно задать уравнением Y = Kx, K € R. Подставляя в уравнение (1) находим, что прямая пересекает гиперболу только при и пересекает ее в двух точках где

< Предыдущая		Следующая >