64. Линии второго порядка. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса

Определение 1. Эллипсом Называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 той же плоскости есть величина постоянная, большая, чем расстояние между точками F1, F2.

Точки называются Фокусами, расстояние |F1F2| называется Фокальным расстоянием. Обозначаем его через 2С. Через 2А обозначим сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов. По определению A > C.

Выведем уравнение эллипса в прямоугольной системе координат OXy, связанной с эллипсом. Для этого начало O системы координат поместим в середину отрезка F1F2, ось OX направим по прямой F1F2. Такая система координат называется Канонической. В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F1(-C, 0) и F2(C, 0) .

Пусть M(X,Y) произвольная точка плоскости OXy. По определению 1 точка M принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда

|MF1| + |MF2| = 2C. (1)

Находим

|MF1| =, |MF2| =.

Отсюда получим уравнение эллипса

. (2)

Для того, чтобы упростить это уравнение, запишем его в виде

И возведем обе его части в квадрат

Или

Возведя полученное уравнение в квадрат, находим:

Или

Обозначаем

И найденное выше уравнение запишем в виде

. (3)

Мы доказали, что если точка лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3). Докажем обратное, что если координаты точки M(X,Y) удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит эллипсу. Для этого вычисляем расстояния |MF1| и |MF2|.

|MF1| ==

.

Из уравнения (3) получаем ,

. Тогда

|MF1| =. (4)

Аналогично выводим, что

|MF2| =. (5)

Поэтому |MF1| +|MF2| =.

Таким образом, доказали, что (3) является уравнением эллипса.

Уравнение (3) называется Каноническим уравнением эллипса. Отрезки |MF1|, |MF2| называются Фокальными радиусами точки M.

Замечание 1. Если точки F1 и F2 совпадают, то из определения 1 следует, что в этом случае эллипс превращается в окружность радиуса А. При этом уравнение (3) принимает вид X2 + Y2 = A2.

< Предыдущая		Следующая >