63. Геометрический смысл неравенства Ax + By + C = 0

На плоскости рассматривается аффинная система координат.

Теорема 1. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

Ax + By + C ³ 0 (1)

A2 + B2 ≠ 0, Является полуплоскостью, ограниченной прямой

A: Ax + By + C = 0 (2)

В которой лежит конец вектора N = (A,B), Отложенного от произвольной точки прямой A.

Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция F(X,Y) = Ax + By + C принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полуплоскостей, на которые прямая A разбивает плоскость.

Пусть M1(X1,Y1), M2(X2,Y2) любые две точки плоскости, не принадлежащие прямой A, и которые не лежат на прямой параллельной прямой A. Тогда прямая M1M2 пересекает прямую A в точке M(X,Y), которая делит отрезок в некотором отношении l. Координаты точки M вычисляются по формулам:

. (3)

И удовлетворяют уравнению прямой A. Тогда справедливо равенство

Отсюда находим

.

Так как точка M2 Ï A, то . Тогда

.

Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой A тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l < 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой A тогда и только тогда, когда функция F(X,Y) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 32).

Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой A тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l > 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой A тогда и только тогда, когда функция F(X,Y) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 33)..

Если точки M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2) лежат на прямой параллельной прямой A, то они расположены также по одну строну от прямой A. Чтобы доказать это необходимо взять еще одну точку M2(X3,Y3) в той же полуплоскости, не лежащую на прямой M1M2. В силу доказанного функция F(X,Y) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда и точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака.

Таким образом, функция F(X,Y) принимает значения одного знака в каждой из полуплоскостей, на которые прямая A разбивает плоскость, и в разных полуплокостях эти знаки различны.

2. Отложим, от точки M1(X1,Y1)€ A вектор N = (A,B) и получим такую точку M2(X2,Y2), что = N = (A,B) (см. рис 21).Отсюда X2 = X1 + A, Y2 = Y1 + B. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим

F(X2,Y2) = Ax2 + By2 + C = A(X1 + A) + B(Y1 + B) + C =

= Ax1 + By1 + C + A2 + B2.

. Так как точка M1(X1,Y1)€ A. то Ax1 + By1 + C = 0. Поэтому

F(X2,Y2) = A2 + B2 > 0.

Пример 1. Найти уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя A1:3X + 4Y - 5 = 0, A2:5X - 12Y + 3 = 0.

По формуле (2) § 6 находим уравнения биссектрис углов, образованных прямыми A1 и A2:

.

Получаем две биссектрисы B1 :7X -56Y + 40 = 0, B2 :8X - Y + 5 = 0. На биссектрисе B2 выбираем точку M1(0,5). Вычислим значения левых частей данных уравнений в точке M1: 3×0 + 4×5 - 5 = 25> 0, 5×0 - 12×5 + 3 = - 57 < 0. Отложим от точки M1 нормальные вектора N1 = (3,4), N2 = (5,-12) данных прямых. В силу теоремы 1 вектор N1 направлен в от прямой A1, а вектор N2 направлен к прямой A2 (см. рис.15). Тогда угол между векторами N1 и N2 равен углу между прямыми A1 и A2 . Так как N1×N2 =3×5-4×12= -33 < 0 , то B2 - биссектриса тупого угла. Следовательно, искомая биссектриса B1:7X -56Y + 40 = 0.

< Предыдущая		Следующая >