20. Определение векторного пространства

Определение 2. Непустое множество V элементов вида A, B, C,... называется Векторным (или Линейным) Пространством над полем Р , если

1) на множестве V определена бинарная алгебраическая операция, называемая Сложением, и которая любой паре элементов ставит в соответствие единственный третий элемент из V, обозначаемый A + B и называемый их Суммой;

2) определена операция Умножения элементов из множества V на числа из поля Р, которая любому элементу и любому числу ставит в соответствие единственный элемент из V , обозначаемый aA И называемый произведением элемента A На число a;

3) эти операции обладают следующими условиями (Аксиомами векторного пространства).

1°. Сложение элементов в V ассоциативно, т. е. A + (B + C) =(A + B) + C для любых

2°. Сложение элементов в V коммутативно, т. е. A + B = b + A для любых .

3°. Существует нулевой такой элемент , что для любого имеем A + 0 = 0 + A = A.

4°. Для любого Существует такой элемент , что имеем A + (-A) = (-A) + A = 0 .

5°. Умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов из V , т. е. a(A + B) = AA + aB для любых

6°. Умножение на число дистрибутивно относительно сложения чисел из Р , т. е. (a + b)A = AA + bA для любых

7°. (ab)A = A(bA) для любых

8°. Умножение унарно, т. е. 1A = a для любого , где 1 - единица поля Р.

Элементы множества V называются Векторами, вектор 0 - Нулевым Вектором, вектор -A - Противоположным вектором для вектора A. Свойства 1° - 8° называются Аксиомами векторного пространства.

< Предыдущая		Следующая >