124. Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

, (19)

Называется Гиперболическим параболоидом P > 0, Q > 0. Числа P, Q называются Параметрами Гиперболического параболоида.

Исследуем поверхность гиперболического параболоида по уравнению (19). Так как переменные X И Y входят в уравнение (19) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y, Z) гиперболическому параболоиду принадлежат четыре точки (±X, ±Y, Z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гиперболический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей OXz, OYz. Он пересекает координатные оси в начале координат. Эта точка называется Вершиной Гиперболического параболоида.

Исследуем методом сечений поверхность гиперболического параболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая гиперболический параболоид плоскостями Z = H (-¥ < H < +¥), параллельными плоскости OXy, получим при H ≠ 0 в сечении гиперболы.

Пересекаем гиперболический параболоид плоскостями X = H (-¥ < H < +¥), параллельными плоскости OyZ. Получим в сечении параболу.

Пересекаем гиперболический параболоид плоскостями Y = H (-¥ < H < +¥), параллельными плоскости Oxz. Получим в сечении параболу. Применим полученные исследования к построению поверхности гиперболического параболоида (см. рис. 13).

Уравнение гиперболического параболоида (19) можно записать в виде

. (20)

Составим две системы уравнений первой степени

, (21)

Где M и N произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых M и N, одновременно не равных нулю, каждая из систем (21) определяет прямую, и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (21) почленно и сократим, полученное равенство, на Mn, то получим уравнение (19). Поэтому любая точка (X, Y, Z) , принадлежащая прямым (3), находится на поверхности (19).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (21) называются Прямолинейными образующими гиперболического параболоида (см. рис. 14). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров M или N в системах (21) полагать равным единице.

< Предыдущая		Следующая >