103. Самосопряженные операторы

Определение 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется Самосопряженным или симметричным, если A = A*, т. е. для любых векторов двух A, B €E выполняется условие:

(Aa, B) = (A, Ab). (1)

Теорема 1. Линейный оператор A евклидова пространства E самосопряжен тогда и только, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица, т. е. A = A*.

Доказательство. По определению, оператор A самосопряжен тогда и только тогда, когда A = A*.

Линейные операторы A, A* Однозначно определяются своими матрицами A И A*. Тогда оператор A самосопряжен тогда и только тогда, когда A = A*. В силу теоремы 2 в ортонормированном базисе это равносильно условию A = At, т. е. симметричности матрицы A. 

Теорема 2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора A - действительные числа и поэтому являются собственными значениями линейного оператора.

Доказательство. Пусть V = (V1, V2,…, VN) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - Матрица самосопряженного линейного оператора A в базисе V. Докажем, что все корни характеристического уравнения |A - lE| = 0 действительные числа. Допустим противное, что характеристический многочлен имеет комплексный корень l0ÏR. Рассмотрим однородную систему N линейных уравнений c N неизвестными, записанную в матричной форме:

(A - l0E)X = 0,

Где X - столбец неизвестных. Поскольку определитель системы равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение X0. Подставим в систему и получим (A - l0E)X0 = 0. Умножим полученное тождество слева на строку :

. (2)

. Покажем, что. Обозначим При транспонировании квадратная матрица порядка 1 не меняется и мы имеем

С другой стороны, переходя к сопряженным числам, получаем

Так как симметрическая матрица с действительными элементам, то Поэтому И Y€R. Так как число неравно нулю, то из равенства (2) находим, что l0€R. Получаем противоречие. Следовательно, все корни характеристического уравнения действительные числа.

Следствие 1. Если A - действительная симметрическая матрица, то все корни уравнения |A - lE| = 0 действительные числа.

Доказательство. Матрица A является матрицей самосопряженного линейного оператора A, корни уравнения |A - lE| = 0 являются собственными значениями оператора A. По теореме 2 они действительные числа.

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Пусть l, m - собственные значения линейного оператора A,l ≠ m. Тогда Ax = lX, Ay = m Y. Далее с одной стороны, (Ax, Y) =(lX, Y) = l(X, Y). С другой стороны, (Ax, Y) = (X, Ay) = (X, MY) = m (X, Y). Из этих двух равенств следует l(X, Y) = m (X, Y), (l - m )(X, Y) =0. Так как l ≠ m, то (X, Y) = 0.

Определение 2. Подпространство L евклидово пространство E называется Инвариантным относительно линейного оператора A, если образ L при отображении A Лежит в L, т. е. A(L^) Í L^.

Теорема 4. Если подпространство L инвариантно относительно самосопряженного оператора A, то и ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно A.

Доказательство. По определению для любого A € L, Aa € L. Тогда для любого B € L^ имеем (Aa, B) =0. По определению 1 (Aa, B) = (A, Ab). Поэтому (A, Ab) = 0, Ab € L^ и A(L^) Í L^.

Теорема 5. Пусть A - самосопряженный линейный оператор, действующий в N-мерном евклидовом пространстве E. Тогда в E существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Доказательство. Теорему доказываем методом математической индукцией по размерности N. Если N = 1, то каждый вектор собственный в и в качестве требуемого базиса возьмем любой вектор единичной длины из E.

Предположим, что теорема доказана пространств размерности N - 1,и докажем ее для N-мерного пространства En. По теореме 2 линейный оператор A имеет хотя бы одно собственное значение l и собственный вектор B. Тогда подпространство Е1 = L(B) инвариантно относительно оператора A. Обозначим E его единичный вектор. Ортогональное дополнение Еn-1 подпространства Е1 имеет размерность N - 1 и инвариантно относительно A.

Рассмотрим сужение A' оператора A на подпространство: A'(A) = A(A), для любого A € Еn-1. Так как свойство самосопряженности (Aa, B) = (A, Ab) выполняется для всех векторов A, B €En, то оно выполняется и для всех векторов из Еn-1. Если B € Еn-1 - собственный вектор оператора A', то B собственный вектор и оператора A: Ab = A'B = l B.

По индуктивному предположению существует ортонормированный базис E1, E2,…, EN-1 подпространства Еn-1, состоящий из собственных векторов оператора A'. Рассмотрим систему векторов E1, E2,…, EN-1, E. Все векторы E1, E2,…, EN-1ортогональны: по построению, E ортогонален каждому из них, так как E€ Е1, E1, E2,…, EN-1€ Еn-1 - ортогональному дополнение Е1. Длина каждого из этих векторов равна 1. Каждый из них является собственным для оператора A. Следовательно, система векторов ортонормированный базис пространства, состоящий из собственных векторов оператора A. 

< Предыдущая		Следующая >