102. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства

Рекомендуемая литература

19. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

20. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

21. Воеводин В. В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

22. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А. В., Демидовича Б. П.. М.: Наука, 1981.

23. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

24. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

1. Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства. Пусть E - евклидово пространство над полем действительных чисел R, на котором определено скалярное произведение векторов (A, B), A, B €E.

Определение 1. Линейный оператор A* евклидова пространства E называется сопряженным линейному оператору A* Пространства E, если для любых векторов A, B €E выполняется условие:

(Aa, B) = (A, A*b). (1)

Лемма 1. Если произведение данной строки U на любой столбец Y равно нулю, то строка U нулевая. Если произведение любой строки X T на данную столбец U равно нулю, то столбец нулевой.

Доказательство. Пусть U = (U1, U2,…, Un), Y = (Y1, Y2,…, Yn)T. По условию теоремы для любых чисел Y1, Y2,…, Yn U Y = (U1, U2,…, Un)(Y1, Y2,…, Yn)T = U1Y1+ U2Y2+…+ Un Yn=0. Если все числа Y1, Y2,…, Yn равны 0, кроме Yj, которое =1, то отсюда получаем, что Uj (I = 1,2,…,N). Поэтому U =0. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. 

Теорема 1. Пусть V = (V1, V2,…, VN) - Базис евклидова пространства E, A - Матрица линейного оператора A Относительно базиса V, G = (Gij) - Матрица Грама базиса V. Если для линейного оператора A существует сопряженный оператор A*, то выполняется равенство

At G = G A*. (2)

Доказательство. Пусть X и Y координатные столбцы векторов A, B €E относительно базиса V, A И A* Матрицы линейных операторов A и A* Относительно базиса V. Тогда

(Aa, B) =(V(AX), VY) = (AX) t GY , (A, A*b) = X T G A*Y. (3)

Отсюда по формуле (1) получим равенство (AX) t GY = X T G A*Y, Справедливое для любых вектор столбцов X и Y. Так как векторы A, B произвольные, то по лемме 1 получаем At G = G A*.

Теорема 2. Если базис V = (V1, V2,…, VN) Евклидова пространства E Ортонормированный, то Матрица A* сопряженного линейного оператора A* Является транспонированной к матрице A Оператора A;

At = A*. (4)

Доказательство. Так как матрица Грамма ортонормированного базиса единичная, G = E, то (4) следует из (2). 

Следствие 1. Для любого оператора A справедливо равенство (A* )* = A.

Доказательство. По формуле (4) для матриц линейных операторов (A* )* и A в ортонормированном базисе имеем (A* )* = (A T )T = A. Поэтому (A* )* = A.

Следствие 2. Для любых оператора A, B справедливо равенство (AB )* = B * A*.

Доказательство. По формуле (4) для матриц линейных операторов A, B и A*, B * в ортонормированном базисе имеем (AB )* = (AB )T = B T A T = B *A*. Поэтому (AB )* = B * A*.

Следствие 3. Собственные значения линейных операторов A и A* Совпадают.

Доказательство. Так как характеристические многочлены матриц и совпадают, то собственные значения линейных операторов, которые являются корнями характеристического уравнения совпадают. 

Теорема 3. Для любого линейного оператора A евклидова пространства E существует единственный сопряженный линейный оператор A*.

Доказательство. Пусть V = (V1, V2,…, VN) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - Линейный оператор с матрицей A относительно базиса V. Рассмотрим в E линейный оператор B с матрицей At относительно данного базиса. Оператор B существует и единственный. Правые части равенств (3) равны: (AX) t GY = X T G A*Y. Поэтому равны и левые (Aa, B) = (A, Bb). Поэтому оператор B - сопряженный для оператора A. 

< Предыдущая		Следующая >