02. Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:
1) перестановка любых двух уравнений местами;
2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число 
;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;
(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).
Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:
.
Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.
Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.
1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.
2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему 
(2)
Пусть 
решение системы (1) . Тогда числа 
удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:
. (3)
Умножая его на число K, получим верное числовое равенство:
, (4)
Т. о. устанавливаем, что решение системы (2).
Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что решение системы (1).
Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).
3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему
(5)
Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:
, (6)
. (7)
Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство:
. (8)
Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число K получим числовое равенство (6).
Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).
4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.
Теорема доказана.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
