1.1.4. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений, содержащую m уравнений и п неизвестных:

Составим матрицу системы А и расширенную матрицу полученнуюприсоединением к А столбца из свободных членов

Матрице А соответствует система из m векторов

Векторы A1, а2, am линейно зависимы, или, что тоже самое, образуют линейно зависимую систему, если один из них линейно выражается через другие.

Пример 1.8. СистемаЛинейно

зависима, так как

Из системы векторов (1.12) выделим подсистему

где— какие-то к чисел из набора

Будем говорить, что подсистема (1.13) является максимальной линейно независимой подсистемой или базисом системы (1.12), если векторы (1.13) линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы.

Пример 1.9. В системе

векторы а и а2 образуют базис, так как их коэффициенты непропорциональны. ВекторЯвляется линейной

комбинацией A1 и A2. Отметим также, что векторы A1, A3 образуют базис.

Так как система векторов (1.12) образована из матрицы А, то можно говорить о ранге матрицы А, который совпадает с рангом системы (1.12).

Для определения ранга системы существуют различные методы. Мы будем определять ранг матрицы А как максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля.

Пример 1.10. Определить ранг матрицы

Выделяем 1-ю, 2-ю строки, а также 2-й и 3-й столбцы, получаем минор второго порядка

Вообще, в матрице А имеется 3 ¦ 6 = 18 миноров 2-го порядка. Миноры 3-го порядка (их три) равны нулю:

Ранг исходной матрицы равен двум.

Правило вычисления ранга матрицы:

при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков;

если уже найден минор k-го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (к + 1)-го порядка, окаймляющие минор k-го порядка, если все они равны нулю, то ранг матрицы r равен к.

Пример 1.11. Найти ранг матрицы

Таким образом, ранг матрицы А r = 3.

Минор 3-го порядка, окаймляющий его

Оба минора 4-го порядка, окаймляющие минор d3, равны 0:

Возвращаемся к системе (1.10). Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается теоремой Кронеке-ра— Капелли: система линейных уравнений (1.10) тогда и только

тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы А равен рангу матрицы А.

Пример 1.12. Решить систему Составляем матрицы

т. е. ранг матрицы А равен 2.

а это означает, что ранг расширенной матрицы равен 3.

По теореме Кронекера — Капелли следует, что система несовместна.

Пример 1.13. Решить систему Составляем матрицы

ка его окаймляющие, как для матрицы А так и для равны нулю. Так как ранг матрицы системы А и ранг расширенной матрицы А совпадают и равны двум, то система совместна. Так как мы взяли минор 2-го порядка, состоящий из коэффициентов при X1 и X2 в 1-м и 3-м уравнениях, то эти неизвестные оставляем в левой части, а неизвестные X3, X4 и X5 считаем свободными (как бы известными) и переносим их в правую часть:

Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными X1 и X2, найдем общее решение системы в виде:

Минор

а все остальные миноры 3-го поряд

Подстановка этих значений в уравнения системы вместо X1 и X2 дает тождества.

Давая свободным переменным X3, X4 и X5 произвольные числовые значения, мы получим множество решений исходной системы. Так решениями нашей системы будут, например, векторы

1.2. Элементы векторной алгебры

Вектором называется направленный отрезок(рис. 1).

Вектор обозначается указанием его начала (т. А) и его конца (т. B), записывается AB или одной буквой, например а.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины (модули), лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Если известны координаты точекИ

то координаты вектораОпределяются по фор

мулам

Координаты вектора являются его проекциями на координатные оси, поэтому вектор а = {ах, ау, az} может быть представлен в виде:

где— единичные векторы, направление каждого из кото

рых совпадает с положительным направлением осей ОХ, OY, OZ соответственно.

Если векторы заданы их разложениями по ортам (еди

ничным векторам) (1.14), то их сумма и разность определяются по формулам

Напомним, что сумма векторов, начала которых совме

щены, изображается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы. РазностьЭтих векторов изображается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелограмма, причем этот вектор направлен из конца b (вычитаемого) в конец а (уменьшаемого) (рис. 2).

Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Условием коллинеарности двух векторовИ

Является пропорциональность их координат

Произведением вектора а на скалярный множитель m является вектор, координаты которого определяются следующим образом:

Векторы а и та параллельны (коллинеарны) и направлены в одну сторону, если m > 0, и в противоположные стороны, если m < 0.

ВекторНазывают единичным вектором вектора а.

Если вектор а составляет угол а с осью ОХ, уголС осью OY и угол g с осью OZ (рис. 3), то его единичный вектор

, а— называют направляющими

косинусами вектора.

Рис. 3

Пусть векторСоставляет уголС осью u. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними

Скалярное произведение векторов а и b можно выразить также формулой

Свойства скалярного произведения:

1) а ¦ b = b ¦ а — коммутативный закон;

2) а ¦ (b + с) = ab + ас — дистрибутивный закон;

3) а2 = а ¦ а = | а | ¦ | а | ¦ cos0 = | а |2 , отсюда | а | ;

4) если а ±b, то оЬ = 0 и обратно;

5) если векторы заданы координатами: a = {ах, ay, az},

b = {bx, by, bz}, то а ¦ b = axbx + ayby + azbz.

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:

Условие перпендикулярности двух векторов (свойство 4):

Определение. Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор с (рис. 4), определяемый следующими условиями:

1) модуль вектора с равен произведению модулей векторов а и b, умноженному на синус угла между ними:

2) вектор с перпендикулярен векторам

3) векторыОбразуют правую тройку, то есть ориентированы по отношению друг к другу как орты

Векторное произведение обозначают:

Свойства векторного произведения:

Если векторы а и b заданы своими координатами

Согласно определению, площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна модулю их векторного произведения:

где Sd — площадь треугольника, построенного на векторах а и b.

Пример 1.14. Найти площадь треугольника, построенного на векторах(рис. 5).

Определение. Смешанным произведением векторов и с

называется произведение вида:

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 6).

Рис. 6

Объем пирамиды, построенной на векторах а, b, с:

Если векторы заданы своими координатами

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке

2. От перестановки любых двух векторов смешанное произведение меняет знак

3. Если векторыКомпланарны (то есть все три вектора лежат в одной и той же плоскости), то

Пример 1.15. Найти объем пирамиды, построенной на векторах

Найдем смешанное произведение векторов:

< Предыдущая		Следующая >