Вариант № 07

Задача 1(см. рис. 1)

1) 2)

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Вычислим

Задача 4

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Косинус угла между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим ; ; .

Задача 6

1) , где ; ;

; ;

2) ; Направл. косинусы вектора :

; ; .

Задача 7

Рассм. векторы и и рассм. вект. произв-е

; .

Задача 8

Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное

Произведение , след., векторы

Компланарны и, след., точки лежат в одной плоскости.

Задача 9

Рассм. в-р ; рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию и ур-е прямой , проходящей через перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: ,

Т. е. .

Задача 10

1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. И составляющих угол со стороной ( ),

Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

;

Б) рассм. случай

;

2) определим координаты вершин квадрата:

Т.- точка пересечения прямых : ;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

Задача 11

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 12

Рассм. в-р рассм. в-р ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

1)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

;

2)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

;

3)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

Задача 13

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и - искомый перпендикуляр к плоскости ;

В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости : и запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Определим координаты т. как точки пересечения прямой с плоскостью :

;

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1)вычисление определителя 3-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б)разложение по 3-й строке:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу :

, ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим

«присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение;

Для получения решения системы в коорд. форме приведём расширенную матрицу данной системы к диагональному виду:

;

решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ; вычислим матрицу

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением:

;

, - эллипс с центром в точке и полуосями .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - эллиптический параболоид.

Задача 26

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ.) линейного преобразования;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

< Предыдущая		Следующая >