Вариант № 07
Задача 1(см. рис. 1)
1) 2)
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Вычислим
.
Задача 4
Вект. ; рассм.
;
Вычислим ;
;
.
Задача 5
Косинус угла между векторами Определим из равенства:
;
Вычислим ;
;
.
Задача 6
1) , где
;
;
;
;
2) ; Направл. косинусы вектора
:
;
;
.
Задача 7
Рассм. векторы и
и рассм. вект. произв-е
;
.
Задача 8
Лежат ли точки в одной плоскости?
Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное
Произведение , след., векторы
Компланарны и, след., точки
лежат в одной плоскости.
Задача 9
Рассм. в-р ; рассм. т.
и рассм. в-р
; тогда по условию
и ур-е прямой
, проходящей через
перпендикулярно в-ру
, можно записать в виде:
,
Т. е. .
Задача 10
1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т.
И составляющих угол
со стороной
(
),
Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:
А) рассм. случай
;
Б) рассм. случай
;
2) определим координаты вершин квадрата:
Т.- точка пересечения прямых
:
;
Т.- точка пересечения прямых
:
;
Координаты точки определим из условия, что т.
Есть середина отрезка
:
;
Координаты точки определим из условия, что т.
Есть середина отрезка
:
.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. вектор
;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Рассм. в-р рассм. в-р
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно
Вектору :
;
Параметрические ур-я прямой :
1)определим т. пересечения прямой
с координатной плоскостью
:
;
2)определим т. пересечения прямой
с координатной плоскостью
:
;
3)определим т. пересечения прямой
с координатной плоскостью
:
.
Задача 13
Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость
.
Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и
- искомый перпендикуляр к плоскости
;
В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости
:
и запишем канонические ур-я прямой
Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно
Вектору :
;
Параметрические ур-я прямой :
Определим координаты т. как точки пересечения прямой
с плоскостью
:
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам:
Уравнение кривой Примет вид:
Задача 17
1)вычисление определителя 3-го порядка:
А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б)разложение по 3-й строке:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим
«присоединённую» м-цу ;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
.
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем
; так как
, то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет единственное решение;
Для получения решения системы в коорд. форме приведём расширенную матрицу данной системы к диагональному виду:
;
решение данной системы ур-й:
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и вектор - столбцы
имеют вид:
;
Рассм. ; вычислим матрицу
.
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
;
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением:
.
;
;
;
, - эллипс с центром в точке
и полуосями
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
;
Перейдём к новым координатам по формулам: ;
, - эллиптический параболоид.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ.) линейного преобразования
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
Пусть , тогда вектор
;
Б) рассм. ;
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|