Вариант № 06

Задача 1(см. рис. 1)

Рассм. рассм.

.

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Вычислим

.

Задача 4

Вект. ; рассм. ;

вычислим ; ; .

Задача 5

, след. вектор Можно представить в виде ;

По условию задачи ;

Вычислим .

Задача 6

1) , где ;

; ;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Рассм. векторы ;

Рассм. вектор ;

; .

Задача 8

; Рассмотрим

Задача 9

Рассм. в-р ; рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию и ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно

В-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 10

1) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. - середина отрезка :

2) CОставим ур-е диагонали :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

( ), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай ;

Б) рассм. случай

;

; ;

4) опред. коорд. вершин квадрата :

А) опред. коорд. вершины :;

Б) опред. коорд. вершины :.

Задача 11

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 12

А) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Б) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Запишем канонические ур-я прямой :

Направл. в-р прямой есть ; рассм.

И рассм. вектор ;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору : рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, ;

Или

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка: .

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

;

Б)разложение по 3-му столбцу:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) ,

Где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

, След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу :

, ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

;.

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение;

Выпишем решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

; имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу

.

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением:

. ;

;

; , - эллипс с центром в точке

и полуосями .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

;

;

;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - двуполостный гиперболоид.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) линейного преобразования;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

.

< Предыдущая		Следующая >