Вариант № 09

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, Точки являются точками разрыва второго рода. Преобразуем функцию:

. Строим сначала . Затем «сжимаем» график в два раза по

Оси ОХ и смещаем его по оси ОХ влево на 0,5 единицы. Получим график функции . Затем повернем отрицательные ветви графика вверх зеркально по отношению к оси ОХ. Получим график функции .

Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

3. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: Строим сначала . Затем «сжимаем» график в два раза по

Оси ОУ. Получим график функции . Затем сдвинем график вправо по оси ОX на одну единицу. Получим график функции . Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Составим таблицу координат нескольких точек графика в первой четверти:

T	0	π/6	π/4	π/3	π/2
X	0	0.875	2.475	4.546	7
Y	1	0.65	0.354	0.125	0

График симметричен относительно осей координат и относительно начала координат. Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других четвертях координатной плоскости. По точкам строим график и отражаем его симметрично в другие четверти.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . В этом интервале функция возрастает от 0 до 2 (при ), затем убывает от 2 до 0. Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение окружности , радиус которой равен 1, а центр находится в точке Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём в степени все скобки и поделим числитель и знаменатель на , получим: . Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Приведём числитель к разности кубов путем умножения числителя и знаменателя на неполный квадрат суммы:

.Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разность косинусов можно представить в виде произведения синусов, затем воспользуемся первым замечательным пределом: :

, так как .

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами (при T→0): ~ и ~ T. Получим: . Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−1 и X=1. В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва: . Таким образом, точки X=−1 и X=1 являются точками разрыва второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: Точки X=−1 и X=1 являются точками разрыва второго рода., в остальных точках функция непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна -2. Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Так как , то

~ . Поэтому .

Ответ:

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: . Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты: . Найдём производные и : . Тогда . Далее, , тогда . Таким образом, уравнение касательной . Нормаль проходит через точку касания перпендикулярно касательной. Следовательно, уравнение нормали есть .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке:

. Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда

. Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞∙0):

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

Вычисляем последовательно:

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, -1/2) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (1, -1/2) является точкой перегиба: слева интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Аналогично, Подставим это в предел:

. Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в точке разрыва функции: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при :

. Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствует. 3. Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки : Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. 4. Исследуем функцию при : . Найдём горизонтальные и наклонные асимптоты:

. Таким образом, прямая является односторонней горизонтальной наклонной асимптотой. Наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке и не существует в точке. При производная - функция убывает, при производная - функция также убывает. При производная , следовательно, функция возрастает. Точка является точкой минимума функции, причём .

. Вторая производная в нуль не обращается. В точке вторая производная не существует. Имеем два интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости графика функции. Точек перегиба нет.

7. График функции пересекает координатную ось ОУ в точке (0, -1). Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - минимум. Точек перегиба нет.

< Предыдущая		Следующая >