Вариант № 08

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и . Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство или , где K – любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, однако имеет бесконечные разрывы в точках . Функция чётная, поэтому строить график можно для правой полуплоскости, затем отразить зеркально в левую полуплоскость. Строим сначала . Затем уменьшаем график в два раза по оси ОУ и получаем . Далее достраиваем график, отражая полученную часть в отрицательную полуплоскость.

Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

3. Построить график функции: .

Данная функция определена в области . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем сдвинем график на 4 единицы по оси ОХ вправо. Получим график функции . Затем сжимаем график по оси ОУ в два раза. Получим график функции . Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Функция периодическая с периодом 2π. Действительно, функция достигает максимумов в точках . При этом , так как . Составим таблицу координат нескольких точек графика в первом периоде:

T	0	π/6	π/4	π/3	π/2
X	0	0.024	0.078	0.181	0.571
Y	-1	-0.866	-0.707	-0.5	0
T	2π/3	3π/4	5π/6	π	7π/6
X	1.228	1.649	2.118	3.142	4.165
Y	0.5	0.707	0.866	1	0.866
T	5π/4	4π/3	3π/2	5π/3	7π/4
X	4.634	5.055	5.712	6.102	6.205
Y	0.707	0.5	0	-0.5	-0.707

График периодичен. Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других периодах. По точкам строим график и отражаем его симметрично в другие периоды.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Преобразуем уравнение:

. Функция существует для всех значений φ, так как . Функция уменьшается от 2 (при φ =0) до1 (при φ =π/2), далее до 0 (при φ =π). Затем функция возрастает до 2 в обратном порядке.

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Тогда

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞-∞)).

Путём преобразований переходим к неопределённости вида (0/0): . Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: .

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое по отношению к числителю выражение:

.

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом:

. Кроме того, разность косинусов можно представить в виде произведения синусов: .

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

.

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем преобразования в числителе:

. Воспользуемся эквивалентными (при T→0) величинами: ~. Получим:

. Сделаем замену переменной:

. Тогда . Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:

. Таким образом, в точке X=−1 имеет место разрыв второго рода. Далее, . В точке X=1 также имеет место разрыв второго рода Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .

Ответ: В точках X=−1 и X=1 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=2 функция непрерывна, а в точке X= 0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X= 0 равна 1. Ответ: В точке X= 0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0: . Но , поэтому . В данном случае . Но Sin(T) ~T при T→0 . Поэтому

. Предел не существует. Ответ: не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную:

. Вычислим производные в точке : .

Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда

. Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, .

Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0/0):

.

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки

(0, 1) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (0, 1) является точкой перегиба: слева интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Подставим это в предел:

. Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в точках разрыва функции:

. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствует. 3. Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки : Следовательно, прямая является односторонней вертикальной асимптотой. 4. Исследуем функцию при : . Найдём наклонные асимптоты:

. Таким образом, прямая является наклонной асимптотой. 5. Первая производная

. Производная обращается в нуль в точке . При производная , следовательно, функция возрастает, при производная - функция убывает. При производная , следовательно, функция возрастает. Точка является точкой максимума функции, причём .

6. .

Вторая производная в нуль обращается в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, , в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости. Точка перегиба .

7. График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - максимум. Точка перегиба - .

< Предыдущая		Следующая >