Вариант № 25

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется следующими условиями: , т. е. , , т. е. . Далее, неравенство выполняется всегда (оба корня обратиться одновременно в нуль не могут). Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, имеем части двух парабол. Ветви первой параболы направлены вниз, а второй параболы – вверх.

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Область определения функции – вся числовая ось: . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в 2/3 раза по оси ОY и сдвигаем его по оси ОХ на треть единицы влево. Наконец, «сжимаем» график в 3 раза по оси ОX. Получим график заданной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Функция существует только для тех T, для которых и . Это соответствует первой четверти координатной плоскости. Для построения графика составим таблицу.

T	0	π/6	π/4	π/3	π/2
X	1	0.93	0.84	0.71	0
Y	0	0.71	0.84	0.93	1

Можно также исключить параметр T: , т. е. уравнение линии будет , однако надо помнить, что линия существует только в первой четверти.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Удобно перейти к декартовым координатам: . Но . Получаем: . Или . Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке (1, 0), а ветви уходят влево. Ось OY пересекается в точках (0, -2) и (0,2). Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Тогда

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое по отношению к числителю:

.

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: :

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Предел в квадратных скобках равен числу E. Предел показателя степени равен . Таким образом,

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Тогда

. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения: . Таким образом, в точке X=1 функция имеет разрыв первого рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна 2.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае

.

Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X):

. Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞/∞):

.

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням :

.

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (0, 2) является точкой минимума.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Функция чётная. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: ,. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является левосторонней наклонной асимптотой, а прямая - правосторонней наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : . . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . При производная не существует. Во всех других точках производная положительна, т. е. функция монотонно возрастает. Следовательно, экстремумов функция не имеет.

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке и не существует при . Имеем три интервала: в интервале производная - график функции вогнутый, в интервале производная - график функции выпуклый, в интервале производная - график функции вогнутый. Точки и являются точками перегиба. 7. График функции пересекает оси координат в точках (-1/2, 0) и (0, 1/8).

Ответ: График функции представлен на рисунке, точки перегиба – (-1/2, 0) и (0, 1/8 .

< Предыдущая