Вариант № 24

1. Найти область определения функции : .

Область определения данной функции определяется неравенствами и . Умножим первое неравенство на 2 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию:

. Построим сначала график функции

. Затем части графика, лежащие в нижней полуплоскости отразим зеркально по отношению к оси OX в верхнюю полуплоскость. Получим график функции

. Отразим его полностью зеркально по отношению к оси OX в нижнюю полуплоскость. Получим график функции

Ответ: Последовательность построения графика представлена на рисунках.

3. Построить график функции: .

Область определения функции – вся числовая ось: . Функция обращается в нуль в точке . График функции симметричен относительно прямой . Поэтому достаточно построить график в области , затем отобразить его влево зеркально по отношению к этой прямой. Строим сначала график функции . Затем сдвигаем его по оси ОХ на 2 единицы вправо. Затем отображаем его симметрично влево от прямой . Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Таким образом, получили уравнение прямой: . Заданная функция представляет только отрезок этой прямой, так как всегда .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

При будет , и при будет . Это раскручивающаяся спираль. Для построения графика сделаем таблицу.

φ	0	π/2	π	3π/2	2π
ρ	1		2		4

Заметим, что при увеличении аргумента на π значение функции ρ удваивается. Это облегчает построение графика.

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Дополним числитель до разности кубов, умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы:

. Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Преобразуем выражение и воспользуемся первым замечательным пределом: :

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Тогда

| Ln(T+1)~T|=. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: ,. Таким образом, в точках X=0 и X=2 функция имеет разрывы второго рода. Прямые X=0 и X=2 являются вертикальными асимптотами. Для построения эскиза графиКа функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Прямая Y=1 и X=2 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: В точках X=0 и X=2 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция остаётся непрерывной.

Ответ: Функция непрерывна во всех точках области определения. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , следовательно, производная не существует. Ответ: не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: .

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X):

. Или . Из этого равенства находим:

. Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

Примечание: Точка не удовлетворяет уравнению функции!!!

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, .

Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞):

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

Вычисляем последовательно:

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:

,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 2) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (0, 2) является точкой перегиба. Слева от этой точки интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости графика функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

Заметим, что . По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Функция нечётная, периодичность отсутствует. 3. Исследуем функцию в точке разрыва: . Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде :

. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль не обращается. В области определения функция монотонно возрастает, так как везде . Экстремумов нет.

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точках и . Производная не существует в точке . Имеем четыре интервала: в интервале вторая производная - график функции вогнутый, в интервале вторая производная - график функции выпуклый, в интервале вторая производная - график функции вогнутый, в интервале вторая производная - график функции выпуклый. Точки , , являются точками перегиба. Значения функции в точках перегиба соответственно равны: .