Вариант № 21

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется следующими условиями: , т. е. , , т. е. . Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или или . Объединяя результаты, получим: .

Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси: , причём в области определения . Сначала строим график функции . «Сжимаем» полученный график в 3 раза по оси OX, затем отражаем зеркально в верхнюю полуплоскость те части графика, которые расположены ниже оси OX.

Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Строим сначала график функции . Затем сдвигаем его по оси ОХ на 1 единицу вправо и «сжимаем» график в 2 раза по оси ОХ. Получим график функции . Отобразим его зеркально по отношению к оси OX.
Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Складывая почленно эти равенства, получим: . Это уравнение прямой «в отрезках»: . Исходная функция описывает только отрезок этой прямой, так как и .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при значениях . Функция убывает от при До 1 при , затем убывает до 0 при . Нижняя часть графика симметрична верхней части относительно полярной оси.

Вертикальная ось пересекается графиком в точках (π/2,1) и (-π/2, 1). Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞-∞)).

Приводим к общему знаменателю :

.

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: .

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом:

:

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Предел в квадратных скобках равен числу E. Предел в показателе степени равен . Следовательно, .

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция) положительной. Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: ,. Таким образом, в точках X=0 и X=1 функция имеет разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .

Ответ: В точке X=0 имеет место устранимый разрыв. В точке X=4 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=2 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна 6.

Ответ: В точке X=2 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: .

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

.Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:~

. Следовательно, .

Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞):

.

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

. Ответ: .

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

,,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (-1, 1) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (-1, 1) является точкой максимума.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: ,. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, наклонных асимптот нет. Прямая является левосторонней горизонтальной асимптотой.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . При производная положительна, при производная отрицательна. Следовательно, точка является точкой максимума, причём .

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке . Имеем два интервала: интервал и интервал . Производная при и при . Следовательно, в интервале график функции вогнутый, а в интервале - выпуклый. Точка является точкой перегиба. 7. График функции пересекает оси координат в точках (4, 0) и (0, 4E-3).

Ответ: График функции представлен на рисунке, максимум функции – в точке , точка перегиба –(2, 2E-1).

< Предыдущая		Следующая >