Вариант № 07

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и . Второе неравенство выполняется при всех значениях X. Корнями уравнения являются числа . Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется при и . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, Точки являются точками разрыва второго рода. Строим сначала . Затем увеличиваем график в два раза по оси ОУ и «сжимаем» в два раза по оси ОХ. Получим график функции . Затем повернем отрицательные ветви графика вверх зеркально по отношению к оси ОХ. Получим график функции .

Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

3. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Строим сначала . Затем повернем график зеркально по отношению к оси ОХ и сдвинем на -1 по оси ОХ. Получим график функции . Затем сдвинем график вверх по оси ОУ на одну единицу. Получим график функции . Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Составим таблицу координат нескольких точек графика в первой четверти:

T	0	π/6	π/4	π/3	π/2
X	0	0.125	0.354	0.65	1
Y	7	4.547	2.475	0.875	0

График симметричен относительно осей координат и относительно начала координат. Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других четвертях координатной плоскости. По точкам строим график и отражаем его симметрично в другие четверти.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . В этом интервале функция возрастает от 0 до 2 (при ), затем убывает от 2 до 0. Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение окружности , радиус которой равен 1, а центр находится в точке Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём скобки в степени: . Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое по отношению к числителю выражение: . Разложим скобку в числителе как разность кубов: .

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Преобразуем числитель: . Таким образом,

.

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Предел в квадратных скобках равен числу E. Далее, . Окончательно: . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами (при T→0): ~ и ~ T. Получим: . Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=0. В точке X=0 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=0 имеют место разрыв первого рода. Скачёк функции в точке разрыва равен -1. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=π/2 функция непрерывна, а в точке X= π функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X= π равна π /2.

Ответ: В точке X= π функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но Tg(T) ~T при T→0 . Поэтому

, так как . Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: .

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда

. Далее,

,

Следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: : .

Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞):

.

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: ,

. Тогда .

Подставив это в формулу, получим:.

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (0, 2) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Подставим это в предел:

. Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в точках разрыва функции:

. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Отсюда следует, что прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Функция чётная, периодичность отсутствует.

3. Функция непрерывна на всей числовой оси. Вертикальных асимптот нет.

4. Наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . При производная , следовательно, функция возрастает, при производная - функция убывает. В точках знак производной не меняется. Точка является точкой максимума функции, причём .

6.

. Вторая производная в нуль не обращается. В точках вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. Точки перегиба (-1, 0) и (1, 0). 7. Точки пересечения оси ОХ - (-1, 0) и (1, 0), точка пересечения оси ОУ - (0, 1). Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - максимум. Точки перегиба - (-1, 0) и (1, 0).

< Предыдущая		Следующая >