Вариант № 06

1. Найти область определения функции: .

Область определения данной функции определяется неравенством , т. е. . Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или . Кроме того, аргумент логарифма не может быть нулём: . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: если , то . Если , то .

Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена на всей числовой оси. Последовательно строим сначала , затем («сжимая» график в π раз по оси ОХ), затем уменьшаем значения функции в 0,5 раза и от полученного значения отнимаем единицу, т. е «сжимаем» график по оси OY в два раза и опускаем весь график на единицу ниже. Ответ: построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции:

Исключим параметр T: или . Функция определена только для , так как всегда. Это часть графика логарифмической функции с двоичным основанием. Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . Полагая , получаем четыре интервала: , , и . В каждом интервале функция возрастает от 0 до 1, затем убывает от 1 до 0. Получаем четырёхлепестковую «розу». Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Аналогично, . Тогда .

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Вычислим предел, используя замену переменной: .

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся первым замечательным пределом: :

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

.

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим на сопряжённое выражение:

~.

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−1. В точке X=−1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=−1 имеют место устранимый разрыв. Полагая , можно считать функцию непрерывной на всей числовой оси. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=−1 функция имеет устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X=2 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=2 равна -2.

Ответ: В точке X=2 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но Sin(T) ~T, а Et-1~T при T→0 . Поэтому

. Ответ:

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

.

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

. Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): .

Из этого равенства находим: . Находим вторую производную:

. Тогда точке : .

Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞/∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени:

.

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (-1, 0) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (-1, 0) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Аналогично,

. Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются односторонними вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

.

Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Функция нечётная, периодичность отсутствует. 3. Функция непрерывна в области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: Аналогично, Отсюда следует, что прямая являются вертикальной асимптотой. 4. . Найдём наклонные асимптоты: . Следовательно, - наклонная асимптота. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точках и . При производная , следовательно, функция возрастает, при производная - функция убывает, при производная , следовательно, функция убывает, При производная , следовательно, функция возрастает. Точка является точкой максимума функции, причём . Точка является точкой минимума функции, причём .

6. . Вторая производная в нуль не обращается. В точке вторая производная не существует. Имеем два интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. Точек перегиба нет. 7. График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - максимум, экстремум в точке - минимум. Точек перегиба нет.

< Предыдущая		Следующая >