Вариант № 01
Задача 1
Используя определение производной, найти для функции .
.
Задача 2
Найти производные следующих функций:
2.1 ;
;
2.2 ; ;
2.3 ; ;
2.4 ; ;
2.5 ;
2.6 ; ;
2.7 ; ;
2.8 ; ;
2.9 ; ;
2.10 ; ;
2.11 ; ;
2.12 ;
;
2.13 ; ;
2.14 ; ;
2.15 применим формулу ;
Вычислим ; ; ;
2.16
Продифференцируем по Рав-во (1) : ; ; ; ;
2.17
Прологарифмируем рав-во (1):
Продифференцируем по Рав-во (2) : ;
.
Задача 3 (смотри рис. 3)
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Сделать чертёж.
1) уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
; найдём , для чего продифференцируем по Рав-во (1):
;
2) уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:
; т. е. .
Задача 4
Составить уравнение касательной к кривой , зная, что эта касательная параллельна прямой
.
Пусть искомая касательная проходит через точку , тогда её уравнение имеет вид:
; рассм. ; ; по условию задачи , след., , т. е. ;
;
Задача 5
Найти производные второго порядка для функций, заданных в пунктах 2.14, 2.15, 2.16.
2.14 ; ;
2.15 ; ;
вычислим ;
;
2.16
Продифференцируем по Рав-во (1) :
; ;
Продифференцируем по Рав-во (2) :
;
;
.
Задача 6
Закон движения материальной точки: Показать, что при траектория движения пересекает параболу , и найти угол между траекторией и параболой.
1) Определим траекторию движения материальной точки: выразим и
Рассм. , - эллипс с центром в точке и полуосями , т. е. окружность с центром в точке и радиусом ;
2) рассм. и ;
Т. , след., траектория движения точки пересекает параболу в т.;
3) определим угол между траекторией и параболой в точке :
Вычислим угловые коэффициенты касательных к кривым В точке :
; ;
.
Задача 7 (смотри рис. 7)
Закон прямолинейного движения материальной точки:
1)
2) ;
3) ;
4) Точка находилась в покое при ;
5) Точка имела наибольшую скорость В момент времени .
Задача 8 (Смотри рис. 8)
Закон движения материальной точки:
1) Выразим и рассм. , откуда получим
, - траектория движения материальной точки (парабола);
2) определим момент времени , соответствующий точке :
Рассм. ;
3) скорость изменения абсциссы точки: .
Задача 9
Количество электричества, протекающего за время через поперечное сечение проводника:
;
Неизв. параметр определим из условия: , т. е. ;
; ;
Величина тока, протекающего через поперечное сечение проводника:
;
.
Задача 10
Найти дифференциалы: .
Применим формулу: ;
А) ;
Б) ;
В) .
Задача 11
Вычислить приближённо с помощью дифференциала значение функции
В точке .
Рассм. точку ;
;
Вычислим ;
; ;
; .
Следующая > |
---|