Вариант № 01
Задача 1
Используя определение производной, найти 
для функции 
.
.
Задача 2
Найти производные следующих функций:
2.1 
;
;
2.2 
; 
;
2.3 
; 
;
2.4 
; 
;
2.5 
;
2.6 
; 
;
2.7 
; 
;
2.8 
; 
;
2.9 
; 
;
2.10 
; 
;
2.11 
; 
;
2.12 
;
;
2.13 
; 
;
2.14 
; 
;
2.15 
применим формулу 
;
Вычислим 
; 
; 
;
2.16 
Продифференцируем по 
Рав-во (1) : 
; 
; 
; 
;
2.17 
Прологарифмируем рав-во (1): 
Продифференцируем по Рав-во (2) : 
;
.
Задача 3 (смотри рис. 3)
Написать уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке 
.
Сделать чертёж.
1) уравнение касательной 
к кривой 
в точке 
имеет вид:
; найдём 
, для чего продифференцируем по Рав-во (1):
;
2) уравнение нормали 
к кривой в точке имеет вид:
; т. е. 
.
Задача 4
Составить уравнение касательной к кривой 
, зная, что эта касательная параллельна прямой
.
Пусть искомая касательная проходит через точку 
, тогда её уравнение имеет вид:
; рассм. 
; 
; по условию задачи 
, след., 
, т. е. 
;
; 
Задача 5
Найти производные второго порядка для функций, заданных в пунктах 2.14, 2.15, 2.16.
2.14 
; 
;
2.15 
; 
;
вычислим 
;
;
2.16 
Продифференцируем по Рав-во (1) :
; 
;
Продифференцируем по Рав-во (2) :
;
;
.
Задача 6
Закон движения материальной точки: 
Показать, что при 
траектория 
движения пересекает параболу 
, и найти угол между траекторией и параболой.
1) Определим траекторию движения материальной точки: выразим 
и
Рассм. 
, - эллипс с центром в точке 
и полуосями 
, т. е. окружность с центром в точке и радиусом 
;
2) рассм. 
и 
;
Т.
, след., траектория движения точки пересекает параболу в т.
;
3) определим угол 
между траекторией и параболой 
в точке :
Вычислим угловые коэффициенты касательных 
к кривым 
В точке :
; 
;
.
Задача 7 (смотри рис. 7)
Закон прямолинейного движения материальной точки: 
1) 
2) 
;
3) 
;
4) Точка находилась в покое при 
;
5) Точка имела наибольшую скорость 
В момент времени 
.
Задача 8 (Смотри рис. 8)
Закон движения материальной точки: 
1) Выразим 
и рассм. 
, откуда получим
, - траектория движения материальной точки (парабола);
2) определим момент времени 
, соответствующий точке 
:
Рассм. 
;
3) скорость изменения абсциссы точки: 
.
Задача 9
Количество электричества, протекающего за время 
через поперечное сечение проводника:
;
Неизв. параметр 
определим из условия: 
, т. е. 
;
; 
;
Величина тока, протекающего через поперечное сечение проводника:
;
.
Задача 10
Найти дифференциалы: 
.
Применим формулу: 
;
А) 
;
Б) 
;
В) 
.
Задача 11
Вычислить приближённо с помощью дифференциала значение функции 
В точке 
.
Рассм. точку 
;
;
Вычислим 
;
; 
;
; 
.
| Следующая > |
|---|
