Вариант контрольной 21

Вариант 21

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Находим точки пересечения графиков функций:

Фигура состоит из двух непересекающихся частей:

Тогда площадь фигуры есть сумма площадей:

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

Решение.

Имеем тело - цилиндр. Сечение, перпендикулярное оси OZ – окружность:

, т. е.

Значит, объем тела:

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY.

Решение: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, есть сумма объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций и

Найдем координаты границ тел по оси OX:

Значит, объем тела:

Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной полуокружностью: и осью Ох.

Решение:

Задача 13. Найти статический момент относительно оси ОY дуги цепной линии .

Решение:

Статический момент относительно оси ОY:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при . Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Следовательно, исходный несобственный интеграл расходится.

< Предыдущая		Следующая >