Вариант контрольной 19
Вариант 19
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Находим точки пересечения графиков функций:
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке 
, а точке 
. Поэтому:
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.
Решение:
Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:
Решение:
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение.
Имеем верхнюю часть двуполостного гиперболоида, т. е. тело с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:
. По оси OZ тело ограничено
Значит объем тела:
Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:
Площадь эллипса:
.
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения OХ.
Решение: Найдем точки пересечения графиков функций
Значит, объем тела:
Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной кривыми:
Решение:
Находим границы фигуры Ф:
Задача 13. Найти статический момент относительно оси Ох фигуры, ограниченной кривыми:
Решение:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
. Значит, несобственный интеграл:
Значит, несобственный интеграл сходится.
Б)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл расходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и не определена при 
и при 
. Значит, необходимо оценить оба предела интегрирования.
Оценка при : 
. Поскольку интеграл от постоянного числа сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.
Оценка при :
Поскольку интеграл от 
сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
