Вариант контрольной 17

Вариант 17

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение: Выразим функцию, т. е.

Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Данная фигура (эллипс) симметрична относительно оси 0y, при этом точке , а точке . Поэтому:

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение:

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение: Имеем тело (эллиптический параболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:.

Значит, объем тела:

Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:

Площадь эллипса:

.

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY.

Решение: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, есть разность объемов тел, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и

Найдем координаты границ тел по оси OX:

Значит, объем тела:

Рассмотрим отдельно:

Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной эллипсом: и осями координат

Решение:

Тогда:

Задача 13. Найти момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды .

Решение:

Момент инерции относительно оси Ох в параметрическом виде:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при . Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При .

Оценим знаменатель подынтегральной функции при

Следовательно:

Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >