Вариант контрольной 13

Вариант 13

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат..

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями :

Решение.

Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке , а точке . Поэтому:

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах

Решение: Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями , ,

Решение.

Имеем тело (гиперболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:.

Значит, объем тела:

Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:

Площадь эллипса:

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения OХ.

;

Решение:

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга развертки окружности

Задача 13. Найти момент инерции полуокружности радиуса а относительно её диаметра.

Решение: Предположим центр системы координат находится в центре окружности. Тогда уравнение заданной полуокружности радиуса а:

МОмент инерции полуокружности радиуса а относительно её диаметра:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при . Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл расходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:

справедлива для всех .

Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >