Вариант контрольной 06

Вариант 6

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат..

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах

Решение:

Задача 7.. Вычислить длину дуги кривой: ;

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

, ,

Решение.

Имеем тело - цилиндр. Сечение, перпендикулярное оси OZ – окружность:

, т. е.

Значит, объем тела:

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.

;

Решение: Найдем точки пересечения графиков функций

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга кардиоиды

Задача 13. Вычислить статический момент относительно оси ОY дуги астроиды , лежащей в первом квадранте.

Решение:

Дуга астроиды в параметрическом виде:

Так как дуга астроиды лежит в первом квадранте, значит, что

Статический момент относительно оси ОY в параметрическом виде:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл расходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Оценка справедлива для всех . Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >