Вариант контрольной 03

Вариант 3

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах

Решение: Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 7.. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями , ,

Решение.

Имеем тело (гиперболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:.

Значит, объем тела:

Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:

Площадь эллипса:

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.

Решение: Найдем точки пересечения графиков функций

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга астроиды , расположенной в третьем квадранте.

Решение: Астроида в параметрической форме записывается:

Дуга астроиды, расположенной в третьем квадранте: .

Задача 13. Вычислить момент инерции квадрата со стороной относительно его диагонали.

Решение: Расположим ось OX по диагонали квадрата.

Поскольку квадрат симметричен относительно его диагонали, рассмотрим положительную половину квадрата.

Тогда: , стороны квадрата запишутся в виде:

Момент инерции квадрата со стороной относительно его диагонали, т. е. относительно оси OX:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл расходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл расходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:

Оценим подынтегральную функцию при :

Следовательно:

Поскольку интеграл расходится (), то по признаку сравнения расходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >