Вариант контрольной 01
Вариант 1
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Находим точки пересечения графиков функций: 
Фигура состоит из двух непересекающихся частей:
Тогда площадь фигуры есть сумма площадей:
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке 
, а точке 
. Поэтому:
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах
Решение: 
Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой: 
; 
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
, 
, 
Решение.
Имеем тело - цилиндр. Сечение, перпендикулярное оси OZ – окружность:
, т. е.
Значит, объем тела:
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения OХ.
Решение: Найдем точки пересечения графиков функций
Значит, тело, ограниченное графиками данных функций, ограничено 
:
Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: полуокружность 
, расположенная над осью Ох.
Решение: Дуга окружности , расположенная над осью Ох, записывается:
Задача 13. Найти статический момент относительно оси Ох треугольника, ограниченного прямыми
Решение:
Статический момент относительно оси Ох:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А) 
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
.
Значит, несобственный интеграл:
Б) 
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции
Оценка 
справедлива для всех 
.
Поскольку интеграл 
сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.
| Следующая > |
|---|
