Вариант № 13

В - 13

Задача 1

А) проверим, является ли линейным подпространством :

Пусть , , и пусть выполняются условия:

;

1) рассм.

И рассм. , след. ;

2) рассм. И рассм., след. , и след., является линейным подпространством .

Б) проверим, является ли линейным подпространством :

Пусть , , и пусть выполняются условия: ;

1) рассм.

И рассм. , след. ;

2) рассм. И рассм. , след. , и след., не является линейным подпространством .

Задача 2

Векторы линейно независимы; проверим, будут ли линейно независимы векторы , где .

Рассм. линейную оболочку (так как линейно независимы) и векторы Служат базисом в ;) рассм. в базисе координаты векторов : ;

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. система векторов линейно независима.

Задача 3

;

1) рассм. линейную оболочку ; вычислим ранг системы векторов методом Гаусса:

Рассм. ;

, след. лишь два вектора (например, ) линейно независимы, след. векторы можно считать базисом в ;

2) проверим, принадлежит ли вектор линейной оболочке : вычислим ранг системы векторов :

Рассм. ;

, след. векторы линейно зависимы и .

3) дополним найденный в п. 1) базис до базиса всего пространства : добавим к векторам векторы ; проверим, что ранг системы векторов равен 4 :

Рассм. ;

, след. векторы линейно независимы и их можно считать базисом в

Задача 4

Выписать матрицы и найти .

Пусть

Рассм. усл-е (1):

;

Так как вектор-столбцы совпадают при всех , то получаем:

И матрица имеет вид: ;

Аналогично, из усл-я (2) получаем:

; ;

Вычислим теперь матрицы:

;

Задача 5

Определить ранг матрицы при различных значениях .

Преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

При любом значении полученная ступенчатая матрица имеет 4 ненулевые строки и её ранг .

Задача 6

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

; ;

; , , ;

вектор–решение с-мы (1): ;

2) Получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу :

, ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим

«присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

Задача 7

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

; ;

общее решение данной системы ур-й:

Вектор-решение данной системы ур-й: .

Задача 9

Привести к каноническому виду кривую 2-го порядка

Уравнение линии 2-го порядка принято записывать в виде:

;

В данной задаче ;

Рассм. ;

Так как , то уравнение (1) – гиперболическое (данная кривая - центральная); выпишем систему уравнений для определения центра кривой :

;

Следовательно, центр кривой находится в начале координат

Выпишем матрицу квадратичной формы И найдём её собственные числа и собственные векторы:

- собств. значения (действ. и различные ) матрицы ;

Найдём собственные векторы матрицы :

Пусть , тогда вектор ;нормируем его и получ. ;

Матрица перехода к базису имеет вид: ;при переходе к базису координаты преобразуются по формулам: ;

Выпишем уравнение кривой в координатах :

;

; ;

- гипербола.

< Предыдущая		Следующая >