Вариант контрольной работы 03

Вариант 3

Задача 1

А) проверим, является ли линейным подпространством :

Пусть , , и пусть выполняются условия: ;

1) рассм.

И рассм. , след. ;

2) рассм. И рассм., след. , и след., является линейным подпространством .

Б) проверим, является ли линейным подпространством :

Пусть , , и пусть выполняются условия: ;

1) рассм.

И рассм. , след. и, след., не является линейным подпространством .

Задача 2

Векторы линейно независимы; проверить, будут ли линейно независимы векторы , где .

Рассм. линейную оболочку (так как линейно независимы) и векторы Служат базисом в ;) рассм. в базисе координаты векторов : ;

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. система векторов линейно независима.

Задача 3

;

.

1) рассм. линейную оболочку ; вычислим ранг системы векторов методом Гаусса:

Рассм. ;

, след. векторы линейно зависимы; лишь два вектора (например,

Векторы ) линейно независимы, след. векторы можно считать базисом в ;

2) проверим, принадлежит ли вектор линейной оболочке : вычислим ранг системы векторов :

Рассм. ;

, след. векторы линейно независимы и .

3) дополним найденный в п. 1) базис до базиса всего пространства : добавим к векторам векторы и ;проверим, что ранг системы векторов равен 4 :

Рассм. ;

, след. векторы линейно независимы и их можно считать базисом в .

Задача 4

Выписать матрицы и найти .

Пусть

Рассм. усл-е (1):

;

Так как вектор-столбцы совпадают при всех , то получаем:

И матрица имеет вид: ;

Аналогично, из усл-я (2) получаем:

; ;

Вычислим теперь матрицы:

;

;

.

Задача 5

Определить ранг матрицы при различных значениях .

Преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

;

При полученная ступенчатая матрица имеет 3 ненулевые строки и её ранг ;

При матрица имеет вид И её ранг .

Задача 6

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

;

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) Получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу :

, ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим

«присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

.

Задача 7

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

общее решение данной системы ур-й:

Вектор-решение данной системы ур-й: .

Задача 8

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Положим , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Положим , тогда вектор ;

Положим , тогда вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть :

; ; .

Задача 9

Привести к каноническому виду кривую 2-го порядка

Уравнение линии 2-го порядка принято записывать в виде:

;

В данной задаче ;

Рассм. ;

Так как , то уравнение (1) – гиперболическое (данная кривая - центральная); выпишем систему уравнений для определения центра кривой :

;

Преобразуем координаты по формулам (что соответствует переносу начала координат в центр кривой ); уравнение кривой примет вид: ;

;

;

Выпишем матрицу квадратичной формы И найдём её собственные числа и собственные векторы:

- собств. значения (действ. и различные ) матрицы ;

Найдём собственные векторы матрицы :

Пусть , тогда вектор ;нормируем его и получ. ;

Пусть , тогда вектор ;нормируем его и получ. ;

Матрица перехода к базису имеет вид: ;при переходе к базису координаты преобразуются по формулам: ;

Выпишем уравнение кривой в координатах :

;

;

; ; ;

, - гипербола.

< Предыдущая Следующая >