Вариант № 25

1. Найти область определения функции и изобразить её на плоскости: .

Для заданной функции область определяется следующим неравенством: , так как для любых значений T. Или . Таким образом, областью определения функции является множество точек, расположенных между прямыми и . Сами прямые также входят в область определения функции (см. рисунок). Ответ: .

2. Вычислить частные производные и сложной функции в данной точке: при .

Частные производные сложной функции двух переменных находятся по формулам и . В данном случае . Следовательно, , . Заметим, что в точке промежуточные переменные равны: . Подставляя в частные производные , получим: ,

. Ответ: , .

3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке: .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке имеют следующие уравнения: а) (касательная плоскость): (нормаль). В данном случае . Найдём частные производные от в точке : . Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали: , . Или , . Ответ: а) Уравнение касательной плоскости: ; б) Уравнение нормали: .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: .

M0

Найдём стационарные точки в области D: . Решая систему , получим стационарную точку . Значение функции в этой точке равно . На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . На границе области D функция имеет вид . Тогда , следовательно, точка является стационарной точкой на прямой , причём . Находим значение функции в угловых точках области D: . Сравнивая все значения , видим, что наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение - в точке . Ответ: наибольшее значение функции в точке , наименьшее значение - в точке .

5. Изменить порядок интегрирования: .

Восстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов: , . Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Линии и пересекаются в точке . Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на горизонтальную. Из рисунка видим, что данная область является X – трапецией. На левой границе , на правой границе . Поэтому и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл: . Ответ: .

6. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная параболой и прямой . Сверху тело ограничено плоскостью , снизу – поверхностью (см. рисунок). Таким образом,

. Ответ: .

7. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Исключая Z, найдём проекцию тела на плоскость XOY: . Сверху тело ограничено поверхностью параболоида вращения, а снизу – плоскостью . Удобно перейти к цилиндрическим координатам: . Уравнением окружности будет , уравнением параболоида будет , уравнением плоскости будет . Область интегрирования будет область . Следовательно, . Ответ: .

8. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Тело расположено между двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат радиуса 4 и 10, конусами (сверху и снизу), и двумя плоскостями и . Перейдём к сферической системе координат: . Якобиан преобразования равен . Уравнение малой сферы будет , большой сферы - , На плоскости будет , а на плоскости будет или . Уравнение верхнего конуса переходит в уравнение , нижнего конуса – в уравнение . Таким образом, тело занимает следующую область: . Объём тела равен: . Или . . Ответ: .

9. Найти массу пластинки:

Пластинка занимает область D, изображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет: . Аналогично, для большего эллипса получим: . Якобиан преобразования равен . На прямой линии имеем . Область, занимаемая пластинкой, есть . Тогда

. Ответ: .

10. Найти массу тела: .

Тело представляет часть шара, расположенную в первом октанте, «вырезанную» конической поверхностью, и ограниченную координатными плоскостями (см. рисунок). Проекция линии пересечения сферы с конусом на плоскость XOY имеет вид: . Область интегрирования: . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат: . Таким образом, тело занимает следующую область: . При этом плотность тела равна . Масса тела равна: . Или . Ответ: .

11. Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: .

Преобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина: . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем: . В полярных координатах якобиан преобразования равен . Следовательно,

. Ответ: .

12. Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности :

.

Массу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в декартовых координатах, где . Тогда,

. Ответ: .

13. Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии от точки M к точке N: .

Работу вычисляем по формуле: . Линия представляет собой окружность, являющуюся пересечением цилиндрической поверхности и поверхности параболоида вращения . Линия расположена в плоскости (см. рисунок). Перейдём к параметрическому заданию линии: . Найдём значение параметра T, при котором достигаются точки M и N; ; . Тогда

. Ответ: Работа равна .

14. Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к поверхности , заданной уравнением , или по направлению вектора : .

Производная по направлению находится по формуле: , где - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке:

. Следовательно, . Найдём единичный вектор заданного направления : . Тогда производная по заданному направлению равна: Ответ:

15. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в заданной точке М: .

Наибольшую скорость характеризует градиент поля: .

Вычислим координаты градиента: , , . Таким образом, .

Величина скорости есть модуль градиента: .

Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна .

16. Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля : .

По заданному скалярному полю построим поле его градиентов: . Дивергенция (расходимость) вектора определяется формулой: . Для градиента получаем: . Ротор вектора вычисляется как символический определитель третьего порядка:

. Для поля градиентов :

.

Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений: . Для заданного поля :

. Из первого равенства следует

. Из равенства исключим переменную Z, получим .

Исключим отсюда , пользуясь первым полученным интегралом: . Или . Итак, уравнения векторных линийполя градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:. Ответ: , , урвнения векторных линий поля градиентов: .

17. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ): .

Запишем уравнение плоскости в отрезках: или и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор: . Нормируем нормальный вектор: . Поток векторного поля находится по формуле , где - проекция вектора поля на нормаль к поверхности: . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: . При этом . Из уравнения поверхности . Тогда

. Ответ: .

18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением . Вычислить:

А) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);

В) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY ( воспользоваться формулой Стокса): .

Решение.

А) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.

С плоскостью XOY с плоскостью XOZ с плоскостью YOZ (см. рисунок). Поток поля через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:

. Находим дивергенцию: . ..

В) Циркуляцию поля вектора вдоль линии вычислим по формуле Стокса: . Вычислим ротор данного поля:

. Найдём вектор : (это внешняя нормаль, так как ). Вычислим скалярное произведение: . Таким образом, циркуляция векторного поля равна:

. Ответ: .

43. Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В: .

Вычислим ротор вектора :

. Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля: (за точку M0 взята точка M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки: . Ответ: .

< Предыдущая