Вариант № 24
1. Найти область определения функции и изобразить её на плоскости: .
Для заданной функции область определяется следующими условиями:
, так как
для любых значений T, и
. Или
и
. Таким образом, областью определения функции будет множество точек, расположенных выше параболы
и ниже параболы
, включая линии парабол кроме точки (0, 0) (см. рисунок). Ответ:
или
,
.
2. Вычислить частные производные и
сложной функции в данной точке:
при
.
Частные производные сложной функции двух переменных находятся по формулам
и
. В данном случае
. Следовательно,
,
. Заметим, что в точке
промежуточные переменные равны:
. Подставляя в частные производные
, получим:
,
. Ответ:
,
.
3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в данной на ней точке: .
Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке
имеют следующие уравнения: а)
(касательная плоскость):
(нормаль). В данном случае
. Найдём частные производные от
в точке
:
. Подставим найденные частные производные в уравнения касательной плоскости и нормали:
,
. Или
,
. Ответ: а) Уравнение касательной плоскости:
; б) Уравнение нормали:
.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
.
Найдём стационарные точки в области D:
. Решая систему
, получим стационарную точку
. Значение функции в этой точке равно
. На границе области D
функция имеет вид
- экстремумов нет. На границе области D
функция имеет вид
- экстремумов нет. На границе области D
функция имеет вид
- экстремумов нет. На границе области D
функция имеет вид
- Тогда
, следовательно, точка
является стационарной точкой на прямой
, причём
. Находим значение функции в угловых точках области D:
. Сравнивая все значения
, видим, что наибольшее значение
функция принимает в точке
, а наименьшее значение
- на прямых
и
. Ответ: наибольшее значение функции
в точке
, наименьшее значение
- на прямых
и
.
5. Изменить порядок интегрирования: .
Восстановим область интегрирования (D) по пределам повторных интегралов: ,
. Изобразим область интегрирования на чертеже (см. рисунок). Найдём точки пересечения прямой
и окружности
:
.
![]() |
Порядок интегрирования в данном интеграле показан штриховкой на первом графике. На втором графике штриховка изменена на вертикальную. Из рисунка видим, что данная область является Y – трапецией. На нижней границе





6. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями:
.
Основанием тела в плоскости ХОУ является область D, ограниченная параболой и прямой
. Снизу тело ограничено плоскостью
, сверху – плоскостью
(см. рисунок). Таким образом,
. Ответ:
.
7. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .
![]() |
Преобразуем уравнения цилиндрических поверхностей:












8. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .
Тело расположено между двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат радиуса 7 и 13, конусом (снизу), и двумя плоскостями и
. Перейдём к сферической системе координат:
. Якобиан преобразования равен
. Уравнение малой сферы будет
, большой сферы -
, На плоскости
будет
, а на плоскости
будет
или
. Уравнение конуса переходит в уравнение
. Таким образом, тело занимает следующую область:
. Объём тела равен:
. Или
.
. Ответ:
.
9. Найти массу пластинки:
Пластинка занимает область D, изображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет:
. Аналогично, для большего эллипса получим:
. Якобиан преобразования равен
. На прямой линии
имеем
. Область, занимаемая пластинкой, есть
. Тогда
. Ответ:
.
10. Найти массу тела: .
Коническая поверхность пересекается с поверхностью параболоида
на высоте
(см. рисунок). Область интегрирования:
. Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат:
. Таким образом, тело занимает следующую область:
. При этом плотность тела равна
. Масса тела равна:
. Или
.
Ответ: .
11. Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: .
Преобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина:
. Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем:
. В полярных координатах
якобиан преобразования равен
. Следовательно,
.
Ответ: .
12. Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности :
.
Массу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в декартовых координатах, где
. Тогда,
. Ответ:
.
13. Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии
от точки M к точке N:
.
Работу вычисляем по формуле:
. Линия
находится в пересечении цилиндрической поверхности
и плоскости
(см. рисунок). Перейдём к параметрическому заданию линии:
. Найдём значение параметра T, при котором достигаются точки M и N;
;
. Тогда
. Ответ: Работа равна
.
14. Найти производную функции в точке
по направлению внешней нормали
к поверхности
, заданной уравнением
, или по направлению вектора
:
.
Производная по направлению находится по формуле: , где
- координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции
в заданной точке:
. Следовательно,
. Найдём единичный вектор заданного направления
:
. Тогда производная по заданному направлению равна:
Ответ:
15. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в заданной точке М:
.
Наибольшую скорость характеризует градиент поля: .
Вычислим координаты градиента: ,
,
. Таким образом,
.
Величина скорости есть модуль градиента: .
Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна .
16. Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля :
.
Преобразуем функцию: . По заданному скалярному полю
построим поле его градиентов:
. Дивергенция (расходимость) вектора
определяется формулой:
. Для градиента получаем:
. Ротор вектора
вычисляется как символический определитель третьего порядка:
. Для поля градиентов :
.
Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений:
. Для заданного поля
:
. Из второго равенства
следует
или
. Из равенства
исключим Z, получим
. Или
. Итак, уравнения векторных линий поля градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:
. Ответ:
,
, урвнения векторных линий поля градиентов:
.
17. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ):
.
Запишем нормальный вектор плоскости
:
. Нормируем нормальный вектор:
. Поток векторного поля находится по формуле
, где
- проекция вектора поля
на нормаль к поверхности:
. Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ:
. При этом
. Из уравнения поверхности
. Тогда
. Ответ:
.
18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением . Вычислить:
А) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);
В) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY ( воспользоваться формулой Стокса):
.
А) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.
С плоскостью XOY ; с плоскостью XOZ
с плоскостью YOZ
(см. рисунок, рассматриваются линии только в первом октанте). Поток поля
через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:
. Находим дивергенцию:
. Тогда
.
.
В) Циркуляцию поля вектора вдоль линии
вычислим по формуле Стокса:
. Вычислим ротор данного поля:
. Найдём вектор
:
(это внешняя нормаль). Вычислим скалярное произведение:
. Таким образом, циркуляция векторного поля равна:
. Ответ:
.
42. Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В:
.
Вычислим ротор вектора :
. Следовательно, поле вектора
является потенциальным. Восстановим потенциал поля:
(за точку M0 взята точка M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки:
.
Ответ: .
< Предыдущая | Следующая > |
---|