Вариант № 13
Вар.13
Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции , т. е. областью определения будут первый и третий квадрант координатной плоскости X0Y, включая оси 0X и 0Y, кроме начала координат
.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал
Задача 3: Вычислить значения частных производных функции
в точке
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где
при
При
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке
или
;
В точке
:
Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению
в точке
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке
Уравнение касательной плоскости:
или
Уравнение нормали:
Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что
;
;
Значит
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению:
;
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум
;
Т.
- стационарная точка
и
т.
- точка минимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
, ограниченной заданными линиями
1) Т.
- стационарная точка
;
;
и
В т.
- минимум
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона ОА:
т.
- стационарная точка на
стороне ОА
б) сторона ОВ:
т.
- стационарная точка на
стороне ОВ
в) сторона АВ:
на АВ стационарная
точка:
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции при
не обращается в нуль ни в одной точке кривой
Составим функцию Лагранжа:
;
Система имеет 2 решения:
1) , т. е. т.
2) , т. е. т.
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1)
В т. и при
:
функция имеет условный максимум в т.
и
В т.И при
:
функция имеет условный минимум в т.
и
2) Рассмотрим т. при
. Имеем
;
;
В т. при
:
Значит:
т.
- точка условного максимума
Рассмотрим т. при
. Имеем
;
;
В т. при
:
Значит:
т.
- точка условного минимума
< Предыдущая | Следующая > |
---|