Вариант № 05

Вар.5

Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.

Область определения функции , т. е. границей области будет окружность . Область определения данной функции состоит из внутренних точек окружности, включая точки, лежащие на окружности.

Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал

Задача 3: Вычислить значения частных производных функции в точке

Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где при

При

Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке

;

В точке :

Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению в точке

Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Поверхность задана неявно

;

;

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что

;

Значит

Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению:

;

Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:

Следовательно, функция не удовлетворяет данному уравнению.

Задача 10: Исследовать функцию на экстремум

;

Система имеет три решения:

а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка

;

;

;

и

т.- т. минимума

б) т.- стационарная точка

; ;

в т.- нет экстремума

в) т.- стационарная точка

; ;

в т. - нет экстремума

Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями

1) Т.- стационарная точка

; ;

В т. - нет экстремума

2) Исследуем значения функции на границах области :

а) сторона АВ:

т.- стационарная точка на

стороне АВ

б) сторона ВС:

т.- стационарная точка

на стороне ВС

в) сторона АС:

на АС стационарная

точка: ;

Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:

;

;

Задача 12: Найти условный экстремум функции при

не обращается в нуль ни в одной точке прямой

Составим функцию Лагранжа:

;

, т. е. т.- стационарная точка

Выясним наличие условного экстремума двумя способами:

1)

В т. функция имеет условный минимум в

Т. и

2) Рассмотрим т. при. Имеем

;

В т.: .

Значит:

т. - точка условного минимума

< Предыдущая		Следующая >