Вариант № 07

В задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия.

1. . Уравнение является однородным. Сделаем замену . Тогда . Получим уравнение , или . Запишем уравнение в дифференциалах: . Разделяем переменные:

или . Дробь в левой части разлагаем на простые дроби:

. Или . Из этого следует:

D=1/4, B=1/2 и A=3/4. Интегрируем уравнение: . Получим: или . Вернёмся к переменной Y, делая обратную замену U=Y/X: . Определим постоянную С из начальных условий: , отсюда C=0. Подставляя это значение в общее решение, получим частное решение: .

Ответ: .

2. . Уравнение является линейным. Решим его методом Бернулли. Будем искать решение в виде произведения Y=U∙V, где U и V неизвестные функции, определяемые в данном случае уравнениями и . Решим первое уравнение: или . Отсюда (произвольная постоянная добавляется при решении второго уравнения). Потенцируя, находим: . Подставим найденную функцию U во второе уравнение и решим его: или . Тогда

. Таким образом, общее решение имеет вид: . Найдём C, исходя из начальных условий: . Тогда . Таким образом, частное решение есть . Ответ: .

3. . Это уравнение Бернулли. Его можно решать непосредственно как линейное уравнение, применяя метод вариации произвольной постоянной. Решим однородное уравнение: или . Отсюда находим . Будем предполагать, что решение исходного уравнения имеет

такую же структуру, но C=C(X), т. е. , где C(X) – некоторая неизвестная функция. Определим эту функцию, подставляя данное (предполагаемое) решение в исходное уравнение. Найдём . Тогда . Или . Разделяем переменные: . Интегрируем уравнение: . Следовательно, . Общее решение уравнения . Воспользуемся начальными условиями: , т. е. C1=1, причём в решении нужно выбрать отрицательный знак. Тогда частным решением будет или .

Ответ: .

4. .

Найдём частные производные: ,

. Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции U(X,Y), так что и . Проинтегрируем первое уравнение по X: . Таким образом, , где φ(Y) – произвольная функция. Найдём эту функцию, пользуясь вторым уравнением. С одной стороны . С другой стороны, . Приравнивая эти выражения, получим: . Отсюда, . Согласно уравнению, DU=0. Решением уравнения будет U(x, y)=C. В данном случае . Ответ: .

5. Уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. В уравнении отсутствует искомая функция Y. Сделаем замену . Тогда . Получим линейное уравнение первого порядка: . Решаем сначала однородное уравнение: . Далее решаем неоднородное уравнение методом вариации произвольной постоянной:

. Таким образом, . Определим постоянную C2, пользуясь начальным условием : . Следовательно, . Тогда . Определим C3, пользуясь вторым начальным условием : . Окончательно, . Ответ: .

6. Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим уравнение методом вариации произвольных постоянных. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два равных корня: . Получаем два частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но С1 и С2 являются функциями переменной Х: . Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(Х) и С2(Х) определяются системой уравнений: , где F(X) – правая часть неоднородного уравнения. В данном случае имеем систему: или . Сложим второе уравнение с первым, умноженным на 2: получим: . Подставляя это в первое уравнение, получим: . Интегрируя, получаем: . Следовательно, решением неоднородного уравнения будет . Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных. Положим С1=С3 и С2=С4. Окончательно, . Ответ: .

7. . Линейное неоднородное уравнение шестого порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет пять корней: . Получаем пять частных решений: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Здесь множитель Х обусловлен тем, что корень характеристического уравнения R=0 совпадает с коэффициентом α в экспоненте EαX, «стоящей» в правой части уравнения (α=0). Найдём производные YЧн:: ,

. Подставим это в уравнение: . Отсюда находим . Или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:.

Ответ: .

8. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные YЧн:: . Подставим это в исходное уравнение: . Отсюда находим или . Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Воспользуемся начальными условиями: . По первому условию . Найдём . Тогда, по второму условию, . Решая систему , находим: . Частное решение уравнения будет или .

Ответ: .

9. . Линейное неоднородное уравнение второго порядка. Найдём сначала решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня: . Получаем два частных решения: . Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Найдём частное решение неоднородного уравнения, исходя из структуры его правой части: . Найдём производные yчн::

. Подставим это в исходное уравнение:

. Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях равенства, находим . Или. Следовательно, . Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Ответ: .

10. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами , где - функции от T, M – матрица коэффициентов, при начальных условиях :

.

Запишем систему по исходным данным:

. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Система имеет решение при . Тогда . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили второе частное решение: .

При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .

Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При T=0 получим систему: . Складывая третье уравнение с первым, получим: . Отсюда следует: . Таким образом, частное решение системы следующее: . Ответ: .

11. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен . Приравняем его к квадрату ординаты точки касания: . Это равенство должно выполняться для любой точки кривой. Поэтому введём обычные обозначения: . Получим уравнение: . Разделяем переменные и интегрируем: . По условию точка находится на кривой, т. е. . Тогда . Ответ: .

12. Ежегодный прирост древесины на лесной делянке составляет 3%. Сколько нужно спиливать кубометров древесины в ежегодно, чтобы через 10 лет её количество на каждой делянке увеличилось в 1б25 раза? Считать прирост и спиливание непрерывным, начальное количество древесины 1000 м3, объём спиливания постоянен.

Пусть количество древесины к моменту времени T равна V(T) и пусть скорость спиливания равна (в год). Тогда, по условию задачи, . Решим уравнение: В момент количество древесины было равна 1000. Тогда . Известно что через 10 лет должно быть , т. е. . Отсюда находим:

. Ответ: 8,6 м3.

< Предыдущая		Следующая >