Вариант № 15

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

, (1) – уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Общее решение уравнения (1):

Задача 2.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Найдем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Интегрируя обе части уравнения, получим:

Общее решение уравнения

Подставляем в полученное решение начальное условие:

Значит, искомое частное решение:

Задача 3. Решить дифференциальное уравнение (1)

Применим подстановку

Тогда:

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения

Подставляя значение , получим общий интеграл уравнения (1):

Задача 4. Решить дифференциальное уравнение (1)

Составим определитель ; Положим , гдеОпределяются из системы уравнений: ;

Положим в уравнении (1) ; Получим:

Применим подстановку

Тогда: ; Интегрируя обе части уравнения, получим:

Учитывая, что , получим общее решение уравнения (1):

Задача 5.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Общее решение этого уравнения:

Применим метод вариации постоянных: ; Дифференцируем Y По X:

Подставляем полученные значения в уравнение (1):

Следовательно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка:

Подставляем в полученное решение начальное условие:

Значит, искомое частное решение:

Задача 6. Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Ищем общее решение уравнения Бернулли: (1)

Применим подстановку

Подставляем в уравнение (1):

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Общее решение этого уравнения:

Применим метод вариации постоянных:

Дифференцируем Z По X:

Подставляем полученные значения в уравнение (1):

Значит:

Следовательно, общее решение уравнения Бернулли (1):

Подставляем в полученное решение начальное условие:

Значит, искомое частное решение:

Задача 7. Найти общий интеграл Дифференциального уравнения.

Так как , значит, мы имеем уравнение в полных дифференциалах

Находим

Общий интеграл Дифференциального уравнения

Задача 8. Определить тип дифференциального уравнения, найти общее решение и построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Общее решение этого уравнения:

Применим метод вариации постоянных: ; Дифференцируем Y По X: ;

Следовательно, общим решением является семейство кривых:

Из условий в точке М найдем:

Отсюда искомая интегральная кривая:

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение (1) – явно не содержит Y.

Полагая , имеем , тогда уравнение (1) принимает вид:

.

Общее решение уравнения (1):

Задача 10. Найти решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям.

Ищем общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка:

Положим ,

Тогда уравнение преобразуется к виду:

Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка

Метод вариации постоянных

Подставляем в неоднородное уравнение:

Значит:

Из условий и Имеем

Значит:

Из условия имеем

Значит,

Имеем два частных решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющих заданным условиям:

и

Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение уравнения (1) имеет вид: .

Задача 12. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

(1)

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение уравнения (1) имеет вид: .

Продифференцируем

Из указанных условий имеем:

Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;

где - общее решение однородного уравнения, а функция - частное решение неоднородного уравнения.

Так как степень правой части совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Подставляем частное решение в уравнение (1) и находим неопределенные коэффициенты:

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1): .

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: ;

где - общее решение однородного уравнения, а функция - частное решение неоднородного уравнения.

Так как степень правой части совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Подставляем частное решение в уравнение (1) и находим неопределенные коэффициенты:

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Задача 15. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.

Найдем решение линейного неоднородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

(1)

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение однородного уравнения (1) имеет вид: .

РЕшение линейного неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных: , а неизвестные функции определяем из системы уравнений:

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Продифференцируем полученное решение

Из условия имеем:

Из условия имеем:

Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:

Задача 16. Найти общее решение дифференциального уравнения (1)

- линейное неоднородное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (многочлен)

Ищем решение линейного однородного уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами:

Характеристическое уравнение:

Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции

общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Частное решение Ищем в виде: ;

Подставляем в неоднородное уравнение (1):

Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):

Задача 17. Найти с помощью степенных рядов общее решение уравнения при указанных начальных условиях (1)

Положим (1); Имеем ;

Дифференцируя обе части уравнения (1), получим:

Подставим в выражение (1) и получим

Значит, частноЕ решение уравнения при указанных начальных условиях:

Задача 18. Решить систему дифференциальных уравнений

(1)

Дифференцируя второе уравнение по , получим:

Подставим в первое уравнение значение

Значит:

Получили линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Значение Выразим из второго уравнения:

.