Вариант № 14
Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
, (1) – уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируя обе части уравнения, получим: 
Общее решение уравнения (1): 
Задача 2.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Найдем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Интегрируя обе части уравнения, получим:
Общее решение уравнения 
Подставляем в полученное решение начальное условие: 
Значит, искомое частное решение: 
Задача 3. Решить дифференциальное уравнение 
(1)
; Применим подстановку 
Тогда: 
Интегрируя, получим общий интеграл уравнения 
В результате общий интеграл уравнения имеет вид:
Подставляя значение , получим общий интеграл уравнения (1): 
Задача 4. Решить дифференциальное уравнение 
(1)
Составим определитель 
Положим 
, где
Определяются из системы уравнений:
Положим в уравнении (1) 
; Получим: 
Применим подстановку 
Тогда: 
Интегрируя обе части уравнения, получим:
Учитывая, что 
, получим общий интеграл уравнения (1): 
Задача 5.Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Ищем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка
(1)
Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка
Общее решение этого уравнения: 
Применим метод вариации постоянных: 
Дифференцируем Y По X: 
Подставляем полученные значения в уравнение (1):
Следовательно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка: 
Подставляем в полученное решение начальное условие: 
Значит, искомое частное решение: 
Задача 6. Найти частные решения Дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.
Ищем общее решение уравнения Бернулли: 
(1) 
Применим подстановку 
Подставляем в уравнение (1): 
(2)
Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка:
Общее решение этого уравнения: 
Применим метод вариации постоянных: 
; Дифференцируем Z По X: 
Подставляем полученные значения в уравнение (2): 
Значит: 
Следовательно, общее решение уравнения Бернулли (1): 
Подставляем в полученное решение начальное условие: 
Значит, искомое частное решение: 
Задача 7. Найти общий интеграл Дифференциального уравнения 
Так как 
, значит, мы имеем уравнение в полных дифференциалах
Находим 
Общий интеграл Дифференциального уравнения 
Задача 8. Определить тип дифференциального уравнения, найти общее решение и построить интегральную кривую, проходящую через точку 
.
- дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка
Следовательно, общим решением является семейство кривых: 
Из условий в точке М найдем: 
Отсюда искомая интегральная кривая: 
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение 
(1) – явно не содержит Y.
Полагая 
, имеем 
, тогда уравнение (1) принимает вид:
.
Общее решение уравнения (1): 
Задача 10. Найти решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям.
Ищем общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка: 
- явно не содержит х.
Положим 
, тогда уравнение преобразуется к виду:
- дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
Ищем общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка: 
Из условий 
и 
Имеем: 
Значит:
Из условия имеем 
Значит, имеем частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным условиям:
Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения 
(1)
- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение: 
Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции 
общее решение уравнения (1) имеет вид: 
.
Задача 12. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
(1)
Характеристическое уравнение: 
Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции 
общее решение уравнения (1) имеет вид: 
.
Продифференцируем 
Из указанных условий имеем: 
Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения 
(1)
- линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами 
Характеристическое уравнение: 
общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: 
;
где 
- общее решение однородного уравнения, а функция 
- частное решение неоднородного уравнения.
Так как степень правой части не совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде: 
Подставляем частное решение в уравнение (1) и находим неопределенные коэффициенты: 
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения 
(1)
- линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами 
Характеристическое уравнение: 
общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Применим принцип наложения решений (суперпозиции).
Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: 
;
где - общее решение однородного уравнения, а функции 
- частные решения следующих уравнений: 
; 
;
Причём частные решения ищем в виде: 
; 
Подставляем поочередно частные решения в соответствующие уравнения и находим неопределенные коэффициенты:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Задача 15. Найти частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.
Найдем решение линейного неоднородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами 
(1)
Ищем решение линейного однородного уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение: 
Следовательно, фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции 
общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
РЕшение линейного неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных: 
, а неизвестные функции 
определяем из системы уравнений:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Продифференцируем полученное решение 
Из указанных условий имеем: 
Частное решение Дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям:
Задача 16. Найти общее решение дифференциального уравнения 
(1)
- линейное неоднородное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (многочлен)
Ищем решение линейного однородного уравнения 3 порядка с постоянными коэффициентами 
Характеристическое уравнение: 
Следовательно, фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции 
общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Частное решение Ищем в виде: 
;
Подставляем в неоднородное уравнение (1):
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (1):
Задача 17. Найти общее решение уравнения Эйлера: 
(1)
Введем новую независимую переменную 
.
Положим 
, тогда 
Подставим в уравнение (1) и получим 
- линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (многочлен)
- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение: 
общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Применим принцип наложения решений (суперпозиции).
Структура общего решения неоднородного уравнения (1) имеет вид: 
;
где 
- общее решение однородного уравнения, а функции 
- частные решения следующих уравнений: 
; 
;
Причём частные решения ищем в виде: 
; 
Подставляем поочередно частные решения в соответствующие уравнения и находим неопределенные коэффициенты:
Следовательно, Общее решение неоднородного уравнения:
Значит, Общее решение уравнения Эйлера (1): 
Задача 18. Решить систему дифференциальных уравнений
(1)
Вычитая первое уравнение из второго, получим: 
Применим подстановку: 
Тогда, полученное выражение запишется в виде:
Подставим полученное выражение в систему: 
Продифференцируем первое уравнение: 
Выразив из второго уравнения 
, получим: 
- уравнение Эйлера
Положим 
, тогда 
Подставим в уравнение и получим 
- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение: 
общее решение однородного уравнения имеет вид: 
.
Значит, Общее решение уравнения Эйлера: 
Из первого уравнения получим: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
