Вариант № 06
Задача 1 Разложить вектор По векторам
и
.
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 2 Дано: Найти
Вычислим
Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора
, Если
Вект. ; рассм.
;
Вычислим
;
;
.
Задача 4 Вычислить косинус угла, образованного векторами и
.
Косинус угла между векторами определим из равенства:
;
Вычислим ;
;
Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке
относительно точки
, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы
1) , где
;
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 6 Вычислить площадь треугольника с вершинами
Рассм. векторы ;
Рассм. вектор ;
;
.
Задача 7 При каком векторы
будут компланарны?
;
Рассм.
Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки
Рассм. в-р ;
Рассм. т. и рассм. в-р
; тогда по условию задачи
и
и, след., ур-е прямой
, проходящей через
Перпендикулярно в-ру
, можно записать в виде:
т. е.
.
Задача 9 В квадрате заданы вершина
и точка пересечения диагоналей
. Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.
1) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. - середина отрезка
:
2) CОставим ур-е диагонали :
3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А :
;
Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю
(
),
Т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:
А) рассм. случай
Б) рассм. случай
4) опред. коорд. вершин квадрата
:
А) опред. коорд. вершины :
;
Б) опред. коорд. вершины :
.
Задача 10 Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. вектор
;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 11 Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:
А) рассм. в-р
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору
:
; параметрические ур-я прямой
:
Б) рассм. в-р
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору
:
; параметрические ур-я прямой
:
Задача 12 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую
и т.
.
Запишем канонические ур-я прямой :
; направл. в-р прямой
есть
;
Рассм. И рассм. вектор
;
Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости
:
Вычислим ;
Теперь запишем ур-е пл-ти как пл-ти, проходящей через т.
перпендикулярно вектору
:
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением
Определителя по первой строке.
1) Непосредственное вычисление: ;
2) Разложение по 1-й строке: .
Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.
Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где
;
;
;
Рассм. определитель матрицы :
,
след., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу
;
1) решим систему ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
;
Находим теперь вектор-решение :
.
Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.
Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
имеем
;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений; выпишем общее решение системы в координатной форме:
;
общее решение данной системы ур-й:
Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через
, если
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и
Вектор - столбцы имеют вид:
Рассм. ;
Вычислим матрицу .
Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
- собств. значения (действ. и различные ) линейного преобразования
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм. пусть
, тогда вектор
;
Б) рассм. ;
Рассм. пусть
, тогда
,
вектор
;
В) рассм. ;
Рассм. пусть
, тогда вектор
;
След. собств. векторы линейного преобразования суть:
< Предыдущая | Следующая > |
---|