Вариант № 06

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 2 Дано: Найти

Вычислим

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ;

Задача 4 Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Косинус угла между векторами определим из равенства: ;

Вычислим ; ;

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Вычислить площадь треугольника с вершинами

Рассм. векторы ;

Рассм. вектор ;

; .

Задача 7 При каком векторы будут компланарны?

;

Рассм.

Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки

Рассм. в-р ;

Рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 9 В квадрате заданы вершина и точка пересечения диагоналей . Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.

1) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. - середина отрезка :

2) CОставим ур-е диагонали :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю (),

Т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) опред. коорд. вершин квадрата :

А) опред. коорд. вершины : ;

Б) опред. коорд. вершины :.

Задача 10 Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 11 Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

А) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору :

; параметрические ур-я прямой :

Б) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Запишем канонические ур-я прямой : ; направл. в-р прямой есть ;

Рассм. И рассм. вектор ;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление: ;

2) Разложение по 1-й строке: .

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. определитель матрицы : ,

след., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу ;

1) решим систему ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

; реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр. - невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. ;

Находим теперь вектор-решение : .

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений; выпишем общее решение системы в координатной форме: