Глава 96. Ряд Маклорена

Теорема

Если функция может быть разложена на интервале в степенной ряд, то это Разложение единственно.

Так как по условию теоремы ряд (9.5.3) сходится на интервале и – его сумма, то в силу свойства 1 этот степенной ряд можно дифференцировать почленно на указанном интервале сколько угодно раз. Тогда, дифференцируя раз равенство (9.5.3), получаем

, ,

Откуда при находим , или

(9.5.6)

Таким образом, коэффициенты степенного ряда (9.5.3) однозначно определяются формулами (9.5.6).

Подстановка полученных коэффициентов в формулу (9.5.3) дает вид разложения функции в степенной ряд:

(9.5.7)

Ряд (9.5.7) называют рядом Маклорена для функции .

Для любой бесконечно дифференцируемой функции можно составить ряд Маклорена.

Установим теперь связь между формулой Маклорена и рядом Маклорена.

Как известно, для любой раз дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена:

Где остаточный член в форме Лагранжа: , , .

Если частичная сумма ряда Маклорена, то нетрудно видеть, что формула Маклорена может быть представлена в виде

(9.5.8)

Из представления (9.5.8) следует Теорема о сходимости ряда Маклорена.

Теорема

Для того, чтобы для Бесконечно дифференцируемой функции имело место разложение (9.5.7) в ряд Маклорена на интервале , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале при :

(9.5.9)

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Для того, чтобы разложить функцию в степенной ряд, необходимо найти коэффициенты ряда, определить радиус сходимости ряда и проверить выполнение условия (9.5.9) на интервале .

1. . При получаем , откуда по формулам (9.5.6) . Далее определяем радиус сходимости степенного ряда с найденными коэффициентами. , т. е. степенной ряд сходится на всей числовой прямой.

2. . Ряд сходится на всей числовой оси .

3. . Ряд сходится на всей числовой оси .

4. .

Понятие о функциональной последовательности, функциональный ряд

Определение

Функциональным рядом Называется выражение

(9.7.1)

Где (члены ряда) суть функции одного и того же аргумента X, определенные в некотором промежутке .

Определение

(9.7.2)

Называется Частичной суммой.

Определение

Совокупность значений X, при которых ряд сходится, называется Областью сходимости функционального ряда.

Пример

Найти область сходимости и выражение суммы для ряда

(9.7.3)

Решение

Запишем частичную сумму ряда (9.7.3) в виде

(9.7.4)

Если , то при не имеет конечного предела, т. е. ряд (9.7.3) расходится. При ряд тоже расходится, так как попеременно принимает значения 2 и 1.

При остальных значениях X (т. е. при ) ряд (9.7.3) сходится.

Таким образом область сходимости ряда (9.7.3) есть промежуток . В этой области сумма S есть функция X, определяемая следующими равенствами:

(9.7.5)

Определение

Если сумма S сходящегося в каждой точке промежутка ряда (9.7.1) может быть вычислена с некоторой заданной точностью для всех X сразу, начиная с некоторого номера , то ряд (9.7.1) сходится на этом промежутке Равномерно.

Если же ни один номер N не обеспечивает требуемой точности для всех X сразу, то ряд (9.7.1) сходится на промежутке Неравномерно.

Определение

Функциональный ряд

(9.7.6)

Сходящийся в промежутке , называется Равномерно сходящимся в этом промежутке, если остаток , начиная с некоторого номера N, Одного и того же для всех рассматриваемых значений X, остается по абсолютному значению меньшим любого заранее данного положительного числа E:

(9.7.7)

(номер N Зависит Только От E).

Если же для некоторого E условию (9.7.7) нельзя удовлетворить (Для всех X сразу) ни при каком значении N, то говорят, что ряд (9.7.6) в промежутке Сходится неравномерно.

Теорема (Признак равномерной сходимости)

Если каждый член функционального ряда (9.7.1) при любом X, взятом в промежутке , по абсолютному значению не превосходит положительного числа и если числовой ряд

(9.7.8)

Сходится, то функциональный ряд (9.7.1) в этом промежутке Сходится равномерно.

Теорема (непрерывность суммы ряда)

Если все члены ряда

(9.7.9)

Равномерно сходящегося в промежутке , являются Непрерывными функциями, то и Сумма ряда (9.7.9) есть Непрерывная функция в промежутке .

Теорема (интегрирование рядов)

Если сходящийся ряд

(9.7.10)

Составленный из функций, непрерывных в промежутке , Сходится в этом промежутке Равномерно, то его можно Интегрировать почленно. Ряд

(9.7.11)

Равномерно сходится в промежутке , и сумма его равна интегралу от суммы ряда (9.7.10)

(9.7.12)

Теорема (дифференцирование рядов)

Если функциональный ряд

(9.7.13)

Сходится в промежутке и производные его членов непрерывны в этом промежутке, то ряд (9.7.13) можно почленно дифференцировать При условии, что полученный ряд