Глава 90. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Определение

Совокупность уравнений Вида

(8.7.1)

Где X –независимая переменная, – искомые функции, – их производные, называется Системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется Нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет следующий общий вид:

(8.7.2)

Совокупность n функций

(8.7.3)

Определенных в интервале , называется Решением нормальной системы (8.7.2), если эти функции при подстановке в уравнение системы (8.7.2) обращают их в тождество.

Теорема (Коши)

Пусть для системы дифференциальных уравнений первого порядка (8.7.2) выполняются следующие условия:

- функции определены и непрерывны по всем аргументам в замкнутой области ,

- частные производные непрерывны в области .

Тогда Существует одна и только Одна система решений уравнений (2):

(8.7.4)

Определенная в некоторой окрестности точки и Удовлетворяющая в этой точке заданным Начальным условиям:

(8.7.5)

Условия (8.7.5) называются Начальными условиями решения, а задача отыскания решения по заданным начальным условиям – Задачей Коши.

Совокупность n функций

(8.7.6)

Зависящих от x и n произвольных постоянных , будем называть Общим решением Системы (8.7.2) в некоторой области , если при любых значениях постоянных эти функции представляют решение системы и если любое решение этой системы может быть записано в виде (8.7.6) при некоторых значениях постоянных .

Совокупность n функций

(8.7.7)

Получающееся из общего решения (6) системы (8.7.2) при определенных значениях постоянных будем называть частным решением системы (8.7.2).

Если в области выполнены условия теоремы Коши, то для нахождения частного решения (8.7.7) достаточно разрешить уравнения

(8.7.8)

Относительно и подставить найденные значения постоянных в соотношения (8.7.6).

Одним из основных методов нахождения решения нормальных систем является метод исключения постоянных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n–го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример

Найти общее решение системы уравнений

И выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение

Продифференцировав первое из уравнений системы по x, получаем . Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы и заменяя функцию z ее выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции: . Решив это уравнение, находим его общее решение . Дифференцируя последнее равенство, имеем . Подставляя выражения для y и в первое уравнение системы и приводя подобные члены, получим .

Окончательно, общее решение системы имеет вид

, .

Решим теперь задачу Коши. Подставив в систему (*) вместо y, z и x их начальные значения 0, 1 и 0, получаем систему уравнений для определения постоянных и : , .

Отсюда . Следовательно, искомым частным решением являются функции , .

Если правые части нормальной системы (8.7.2) являются линейными функциями относительно неизвестных функций , то такая система называется Линейной и имеет вид

(8.7.9)

Если функции тождественно равны нулю, то линейная система называется Однородной, в противном случае – Неоднородной.

Системы линейных однородных диф. уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями x, e и z:

(8.7.10)

Где – вещественные числа, t – независимая переменная.

Будем искать частное решение системы (8.7.10) в следующем виде:

(8.7.11)

Где a, b, g и k некоторые числа (причем ), которые надо определить так, чтобы функции (8.7.11) были решением системы (8.7.10).

Подставляя функции (8.7.11) и их производные в уравнения системы (8.7.10) и сокращая на , получим

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при a, b, g, получим систему уравнений

(8.7.12)

Система (8.7.12) – это однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными a, b и g. Как известно, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель был равен нулю, т. е. число k было корнем уравнения

(8.7.13)

Уравнение (8.7.13) называют характеристическим уравнением для системы (8.7.10). Оно является уравнением третьей степени относительно k и имеет три корня: . Каждому корню соответствует ненулевое решение системы (8.7.12) ( ), а следовательно, и частное решение данной системы (8.7.10):

Если корни характеристического уравнения различны и вещественны, то общее решение системы (8.7.10) запишется в виде

или

(8.7.14)

Где – произвольные постоянные.

В случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные, корню k1кратности r соответствует частное решение системы (8.7.10), имеющее вид

(8.7.15)

Где – многочлены степени не выше .

Пример

Найти общее решение системы .

Решение

Ищем частное решение системы в виде . Подставляя эти функции в систему, получаем

(П.1)

Составляем характеристическое уравнение . Отсюда получаем уравнение . Корни характеристического уравнения различны и вещественны.

Найдем частное решение, соответствующее корню . Подставим его значение в систему (П.1). Полагая , находим . Решение имеет вид .

Аналогично для корня получаем . Решение имеет вид .

Третий корень дает . Решение .

Общее решение системы имеет вид

Пример

Найти общее решение системы

Решение

Ищем частное решение в виде . При этом получаем характеристическое уравнение: или . Корни этого уравнения комплексно сопряженные. Для первого корня имеем и, значит, – решение данной системы.