Глава 44. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение

Функция называется Бесконечно малой в точке , если ее предел в этой точке равен нулю: .

Аналогично определяются бесконечно малые при , и др.

Теорема

Если функция имеет предел в точке , равный A, то функция является бесконечно малой в точке .

Свойства бесконечно малых функций

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина Бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина Бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина Бесконечно малая.

Бесконечно большие функции и их свойства

Определение

Функция называется Бесконечно большой в точке , если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента , Соответствующая последовательность значений функции является Бесконечно большой последовательностью.

В этом случае пишут: .

Аналогично определяются бесконечно большие функции при , и др. Отметим, что между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, что и между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Теорема

Если – бесконечно малая функция при , то – бесконечно большая функция при и наоборот.

Свойства бесконечно больших функций

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть Величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть Величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть Величина бесконечно большая.

< Предыдущая		Следующая >