2.1. Основные методы вычисления определенных интегралов
1. Формула Ньютона – Лейбница.
Если - первообразная непрерывной функции
на отрезке
, то справедлива Формула Ньютона – Лейбница:
. (7)
2.Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть требуется вычислить интеграл , где функция
непрерывна на отрезке
. Полагая
, где
непрерывно дифференцируемая функция на отрезке
, причем
, получим:
. (8)
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Если и
- непрерывно дифференцируемые функции на отрезке
, то справедлива формула интегрирования по частям:
. (9)
Задание 1. Вычислить интеграл: .
Решение. Так как первообразной подынтегральной функции является функция
, то по формуле Ньютона-Лейбница получаем:
.
Задание 2. Вычислить интеграл: .
Решение. Сделаем в данном интеграле замену переменной. Положим , тогда
. Найдем новые пределы интегрирования: если
, то
и, следовательно,
; если
, то
, и, следовательно,
. Тогда имеем:
.
Задание 3. Вычислить интеграл: .
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле (9). Положим: . Тогда
. Следовательно,
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|