3.5. Производные высших порядков. Правило Лопиталя

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т. е. . Для второй производной используются следующие обозначения: или , или .

Производной - го порядка от функции называется производная от ее производной -го порядка. Для производной -го порядка используются следующие обозначения: или , или .

Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Если функции и являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при , и при этом существует предел отношения при , то существует также и предел отношения при . Причем

.

Правило применимо и в случае, когда .

Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.

Неопределенности вида и т. д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида или .

Задание 4. Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя.

Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т. к. при . Применим правило Лопиталя:

.

После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида , т. к. при . Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим:

.

< Предыдущая		Следующая >