38. Дифференциальные уравнения семейства кривых
Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением .
Фиксируя значение параметра , получают конкретную линию данного семейства.
Например, уравнение определяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси . Придавая параметру значения, получают параболы .
Дифференцируя уравнение семейства линий по (считая функцией от ):
И исключая параметр , приходят к дифференциальному уравнению вида , которому удовлетворяет любая линия данного семейства.
Пример 2. Из семейства окружностей выделить ту, которая проходит через точку . Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.
Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра . Так как искомая окружность проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя , получим . Искомое уравнение имеет вид: .
Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей , продифференцируем его по :
или .
< Предыдущая | Следующая > |
---|