36. Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида

(9)

Где ‑ числовые коэффициенты, ‑ фиксированное число и ‑ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют Множеством сходимости ряда (9).

Пример 20. Ряд Сходится абсолютно при , т. к. при сходится (см. пример 2). Если же , то не стремится к нулю, т. е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т. е. точкой . Число , равное половине длины промежутка сходимости называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом.

1. , если такой предел существует.

2. , если такой предел существует.

3. (верхний предел, который существует всегда).

Если в формулах 2. и 3. Пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .

Если ‑ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .

Пример 21. Ряд имеет радиус сходимости .

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (см. пример 18). При получаем ряд , который расходится. Таким образом, промежуток сходимости ряда – полуинтервал .

Пример 22. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости . Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости – отрезок .

Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд

(10)

Этот ряд называется Рядом Тейлора для функции в точке .

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (10) совпадает с на множестве , то можно написать