01. Лекция 12. Дифференцируемые функции. Основные понятия

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями . Пусть ‑ внутренняя точка промежутка , ‑ значение функции в точке . Возьмем число такое, что . Величину называют Приращением аргумента . Величину называют Приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента .

Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде:

,

(1)

То говорят, что функция Дифференцируема в точке . Число называют Производной функции в точке . Из формулы (1) получаем:

.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции. Производную функции в точке обозначают одним из символов:

и др.

Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на промежутке с концами и . Величина ‑ это мгновенная скорость изменения функции в точке . Например, если ‑ перемещение точки по оси за время , то ‑ скорость движения точки. Если функция описывает количество продукции, производимой предприятием за время , то ‑ это средняя производительность за промежуток времени , а ‑ это производительность в момент времени . Если функция описывает закон изменения капитала в зависимости от времени , то ‑ скорость накопления капитала.

Итак, если дифференцируема в точке , то

.

Величину называют Дифференциалом функции в точке и обозначают обычно символами:

и др.

Следующая >