5.11.9 Производная композиция отображений

Композиция – общее название для операции, ставящей в соответствие двум упорядоченным элементам и некоторого множества третий элемент . Обозначается (или ). В частности, составление сложной функции является композицией (или суперпозицией) отображений.

Имеем: , тогда .

Производная матрица композиции отображений равна произведению производных матриц исходных функций. Если обозначить матрицы , то .

Рассмотрим случаи, уже разобранные нами в пункте 5.11.4.

I. Пусть , где , , тогда . Найдем .

Матрица оператора , преобразующего в имеет размер , то есть состоит из одной строки и двух столбцов . Если обозначить , то получим вектор-функцию скалярного аргумента (см. пункт 5.11.8. случай III), тогда и матрица . Матрица оператора композиции имеет размер и равна произведению матриц и : .

II. Пусть , где , тогда . Функция осуществляет отображение , тогда , а функция переводит в и производная матрица . Матрица композиции отображений равна и имеет размер : . Иначе .

III. Рассмотрим случай , где . Тогда . Имеем и ; и . Матрица композиции

Отображений .

Получили .

Перепишем примеры из 5.11.4 в новой интерпретации.

I. Отображение .

Пример 1. Дана функция , где . Найти .

Решение. ; или .

Пример 2. , где . Найти .

Решение. .

Пример 3. , где . Найти .

Решение. ,

; .

II. Отображение .

Пример 4. .

Решение. .

, то есть .

III. Отображение .

Пример 5. .

Решение.

.

;

< Предыдущая		Следующая >