5.07.1 Понятие предела функции

Пусть функция определена на некотором промежутке и – предельная точка для множества . Возьмем из последовательность точек, отличных от :

(2)

Сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности тоже образуют числовую последовательность

, (3)

Которая может оказаться сходящейся или расходящейся. Поскольку выбор последовательности (2) ничем не обусловлен, кроме того только, чтобы она сходилась к точке , то ее можно составлять различными способами. Соответственно и последовательностей (3) можно составить сколько угодно. Если все последовательности (3) имеют своим пределом одно и то же число , то говорят, что функция имеет в точке предел, равный .

Если же хотя бы одна из последовательностей (3) имеет предел, отличный от , или вообще не имеет предела, то говорят, что в точке функция предела не имеет.

Дадим теперь строгое определение предела функции в точке «на языке последовательностей».

Определение. (По Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от , сходящейся к точке (), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают: , или при .

Существует другое определение предела функции в точке, которое называют определением «на языке » или определением «на языке неравенств». Оно принадлежит Коши.

Определение. (По Коши). Число называется пределом в точке , если для любого , найдется такое число , что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны (то есть одно следует из другого), поэтому можно пользоваться любым из них.

Пример 1. По определению предела доказать, что функция имеет в точке предел, равный . Каково должно быть , если равно 1, и ?

Решение. Возьмем любое . Задача состоит в том, чтобы по этому найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуем последнее неравенство к виду или . Отсюда видно, что можно взять . В частности, если , то ; если , то ; если , то .

Пример 2. Пользуясь определением предела, показать, что .

Решение. Пусть произвольное положительное число. Найдем такое число (разумеется оно будет зависеть от ), чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось неравенство . Преобразуем . Используя неравенство , оценим : . Следовательно, . Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , то есть чтобы . Отсюда (второй корень уравнения равный отбрасываем, так как ).

Пример 3. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что .

Решение. Воспользуемся определением предела функции «на языке последовательностей». Пусть – произвольная последовательность значений , сходящаяся к 2, то есть . Тогда и . По теореме о пределе суммы получим:

.

Определение. (бесконечный предел). Говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначается или при .

Аналогично определяются и соотношения и .

Определение. (предел функции на бесконечности). Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое вещественное число , что для всех .

Пример 4. Пользуясь определением предела функции на бесконечности, доказать, что .

Решение. Возьмем произвольное и определим значения , для которых выполняется неравенство

. (*)

Так как при любом , то неравенство (*) можно переписать так: , или . Логарифмируя по основанию , получим: , откуда . Если за взять число , то для всех будет , следовательно, .

Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать на языке неравенств определения пределов: , , , , .

< Предыдущая		Следующая >