5.06 Особые случаи пределов и неопределенности

В пункте 5.5 указаны способы нахождения пределов суммы, разности, произведения и частного переменных и , имеющих конечные пределы. Рассмотрим теперь случаи, которые не охватываются указанными способами.

Начнем с частного .

1) Пусть , тогда , так как .

Здесь, и в дальнейшем, символом 0 обозначена бесконечно малая величина, символом – бесконечно большая величина, – величина, обратная бесконечно большой (см. теорему о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами).

2) Если , то , так как .

3) Пусть и , то есть и – бесконечно малые величины. В этом случае о пределе отношения никакого общего заключения сделать нельзя, так как в зависимости от характера изменения и возможны различные ответы. Так, например,

А) если , , то ;

Б) если , , то ;

В) если , , то ;

Г) если , , то и предела не имеет.

Таким образом, отношение бесконечно малых может быть величиной бесконечно малой, бесконечно большой, может иметь пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе не иметь предела. В связи с этим говорят, что отношение бесконечно малых представляет собой Неопределенность и обозначают этот вид неопределенности символом . Когда предел отношения бесконечно малых найден или установлено, что его нет, то говорят, что неопределенность раскрыта.

Аналогично рассматривается случай, когда и говорят о неопределенности вида .

В случае суммы результаты таковы:

1) если , то ;

2) если , то , то есть сумма бесконечно больших Одного знака, есть величина бесконечно большая;

3) если и – бесконечно большие разных знаков, то в общем случае представляет собой неопределенность, которая обозначается символом .

В случае произведения представляет интерес случай, когда один из сомножителей является бесконечно малой величиной, а другой – бесконечно большой. Пусть , тогда или , а эти неопределенности уже рассмотрены.

Кроме неопределенностей вида , существуют и другие неопределенности, с которыми познакомимся чуть позже.

Рассмотрим на примерах наиболее типичные приемы раскрытия неопределенностей.

Пример 1. Найти .

Решение. Числитель и знаменатель являются бесконечно большими, следовательно, имеем случай неопределенности вида . Для раскрытия неопределенности поделим числитель и знаменатель на :

, так как , , при .

Пример 2. Найти .

Решение. Данное выражение представляет собой неопределенность вида . Этот вид неопределенности раскрывается другим приемом. Умножим и разделим данное выражение на сумму , в результате придем к неопределенности вида , которая раскрывается приемом, изложенным в примере 1.