4.1.3 Действия над матрицами

Ранее определили матрицу, как прямоугольную числовую таблицу, имеющую строк и столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника (рис. 1).

Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

Две матрицы и равны, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.

Определим основные операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле . Обозначается .

Пример 6. .

Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что .

Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.

Определение. Разностью матриц и одинакового размера называется такая матрица , что .

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , получающаяся из умножением всех ее элементов на , .

Определение. Пусть даны две матрицы и , причем число столбцов равно числу строк . Произведением на называется матрица , элементы которой находятся по формуле .

Обозначается .

Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении:

Подчеркнем еще раз, что произведение имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго.

Пример 7. Даны матрицы и . Найти матрицы и .

Решение. Прежде всего заметим, что произведение существует, так как число столбцов равно числу строк .

Заметим, что в общем случае , т. е. произведение матриц антикоммутативно.

Найдем (умножение возможно).

Пример 8. Дана матрица . Найти .

Решение.

; .

Отметим следующий любопытный факт.

Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Пример 9. Если и , то

Определение. Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям , где – единичная матрица.

Из этого определения следует, что если матрица является обратной для , то и будет обратной для . Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Такие матрицы называются невырожденными.

Приведем схему нахождения обратной матрицы.

1. Находим определитель данной квадратной матрицы .

2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам мат-рицы .

3. Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы.

4. Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы .

Пример 10. Найти матрицу, обратную матрице .